3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.　　 B. 　　C. 　　D.

2、若复数满足方程，则

A.　　　　　　 B. 　　　　　　C. 　　　　D.

1、函数的定义域是

A.　　　　 B. 　　　　　　C. 　　　　D.

　　　　　 =

　　　　　 =sin(2x+. ∴f(x)的最小正周期T==π. 由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z, ∴f(x)的单调增区间为［kπ-］,k∈Z. (2)方法一： 先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象. 方法二： 把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 方法一: (1)证明：连结OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=. 而AC=2, ∴AO²+CO²=AC^2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC. 　　　　　　　　　　　　　

∴AB平面BCD.

(Ⅱ)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

(Ⅲ)解：设点E到平面ACD的距离为h.

,

∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴点E到平面ACD的距离为.

方法二：

(Ⅰ)同方法一：

(Ⅱ)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

(Ⅲ)解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则　　　　　

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量. 又

∴点E到平面ACD的距离 h=

(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分. 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得 h(x)=()·,

h’(x)=(0＜x≤120＝ 令h’(x)=0，得x=80. 当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. (20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，

考查运算能力和综合能力.满分12分.

解(1) ∵a²=2,b²=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点O、F. ∴圆心M在直线x=-

设M(-),则圆半径

r=|(-)-(-2)|=. 由|OM|=r,得 解得t=±, ∴所求圆的方程为(x+)²+(y±) ²=. (2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0), 代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0. ∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根. 记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点N(x₀,y₀), 则x₁+x₁=-

x₀₌

 AB垂直平分线NG的方程为

令y=0，得

∵

∴点G横坐标的取值范围为()。

(21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。

　　　 解：(I)f(x)=－x²+8x=－(x－4)²+16,

　　　 当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，

h(t)=f(t+1)=－(t+1)²+8(t+1)=－t²+6t+7;

当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;

当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，

h(t)=f(x)=－t²+8t .

综上，h(t)=　　　

(II)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∴j(x)=x²－8x+16ln x+m,

∵j′(x)=2x－8+　　　　　　

当x∈(0,1)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，j′(x)<0，j(x)是减函数；

当x∈(3,+∞)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；

当x=1，或x=3时， j′(x)=0；

∴j(x)_极大值=j(1)=m－7, j(x)_极小值=j(3)=m+6ln 3－15.

∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0.

∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

　　 既7<m<－6ln 3.

所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7，15-6ln 3).

(22)本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

(I)解：∵a_n+1=2 a_n+1(n∈N),

∴a_n+1+1=2(a_n+1),

∴| a_n+1| 是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列。

∴a_n+1=2ⁿ，

既a_n=2ⁿ－1(n∈N)。

(II)证法一：∵4^b1－14 ^b2－2…4 ^bn－1=(a+1)^bn，

∵4^k1+k2+…+kn =2^nk, ∴2[(b₁+b₂+…+b_n)-n]=nb,　　　　　　　　　　　　　　 ① 2[(b₁+b₂+…+b_n+1)-(n+1)]=(n+1)b_n+1　　　　　　　　　　 ②

②-①,得2(b_n+1-1)=(n+1)b_n+1-nb, 即 (n-1)b_n+1-nb_n+2=0.　　　　　　　　　　　　　　　 ③ nb_n+2=(n+1)b_n+1+2=0.　　　　　　　　　　　　　　　　 ④ ④-③，得nb_n+2-2nb_n+1-nb_n=0,

即 b_n+2-2b_n+1+b=0,

∴b_n-2-b_n+1=b_n(n∈N^*), ∴{b_n}是等差数列. 证法二：同证法一，得 (n-1)b_n+1=nb_n+2=0 令n=1，得b₁=2. 设b₂=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 b_n=2+(n-1)d. (1)当n=1,得b₁=2. (2)假设当n=k(k≥2)时，b₁=2+(k-1)d,那么 b_k+1=

这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知b_n=2(n-1)d对任何n∈N^*都成立. ∵b_n+1-b_n=d, ∴{b_n}是等差数列. (3)证明：∵

∴

∵≥(),k=1,2,…,n, 数　学(文史类)

第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于

A.2　　　　　　　 B.1　　　　　 C.0　　　　　　　 D.-1 (2)在等差数列{a_n}中，已知a₁=2,a₂+a₃=13,则a₄+a₅+a₆等于 A.40　　　　　　　 B.42　　　　　 C.43　　　　　　　 D.45 (3)“tan a=1”是“a=”的 A.充分而不必要条件　　　　　　　 B.必要而不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

(17)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=sin²x+xcosx+2cos²x,xR.

(I)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？

(18)(本小题满分12分)

如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2

(Ⅰ)求证：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(Ⅲ)求点E到平面的距离.

(19)(本小题满分12分)

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

(20)(本小题满分12分)

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

(Ⅰ)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m

(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);

(Ⅱ)是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

(22)(本小题满分14分)

已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)

(Ⅰ)求数列{a}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{b_n}满足4^k­1-14^k2-1…4^k-1=(a_n+1)^km(n∈N^*),证明:{b_n}是等差数列;

(Ⅲ)证明:(n∈N^*). 数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分. (1)D　　 (2)B　　 (3)A　　 (4)C　　　 (5)D　　　 (6)A (7)C　　 (8)A　　 (9)B　　 (10)C　　 (11)B　　　 (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. (13)10　　　　 (14)　　　(15)　　　　 (16)()

(13)(x－)展开式中x的系数是　　　　　　　　　　　 (用数字作答)

(14)已知直线x－y－1=0与抛物线y=ax相切，则a=　　　　　　　　　　

(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是　　　　　　　　

(16)如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A₁B₁C₁，又连结的△A₁B₁C₁各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是　　　 .

(1)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是

A.ad－bc=0　　　　 B.ac－bd=0　　　　 C. ac+bd=0　　　 D.ad+bc=0

(2)在等差数列{a}中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于

A.40　　　　　　　 B.42　　　　　　　 C.43　　　　　　 D.45

(3)已知∈(,)，sin=,则tan()等于

A.　　　　　　　 B.7　　　　　　 C.－ 　　　　　D.－7

　　 (4)已知全集U=R,且A={x︱︱x－1︱>2},B={x︱x－6x+8<0}，则(A)∩等于

A.[－1,4] 　　　　　B. (2,3)　　　　　 C. (2,3)　　　　　 D.(－1,4)

(5)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

A.2　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　 D.

(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

(7)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是

A.若m⊥，m⊥n，则n∥　　　 B.若m∥，n∥，则m∥n

C.若m，n∥，则m∥n　　　 　D.若m、n与所成的角相等，则n∥m

(8)函数y=㏒(x﹥1)的反函数是

A.y= (x>0)　　　　　 B.y= (x<0)　　　　

C.y= (x>0)　　　 D. .y= (x<0)

(9)已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.2　　 　　　D.3

(10)已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2) 　　　　　B. (1,2)　　　　　 C.[2,+∞]　　　　　 D.(2,+∞)

(11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于

A.　　　　　　　 B.3　　　　　　 C.　　　　 D.

(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命题的个数为

A.0　　　　 　　　　B.1　　　　　　　 C.2　　　　　　 D.3

第Ⅱ卷(非选择题　 共90分)

案填在题中横线上。

(9)的值等于. (10)在的展开式中, 的系数是.(用数字作答)

(11)若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(0 ,b)(ab0)共线，则,

的值等于

(12)在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是

(13)已知点 P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值

等于,最大值等于.

(14)已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为.

. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(15)(本小题共 12 分)

已知函数.

(Ⅰ)求的定义域；

(Ⅱ)设的第四象限的角，且，求的值

(16)(本小题共 13 分)

已知函数在点处取得极大值5，其导函数

的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求：

(Ⅰ)的值； (Ⅱ)a，b，c 的值.　　　　　　　　　　　 　

(17)(本小题共 14 分)

如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且

PA=PB，点 E 是 PD 的中点.

(Ⅰ)求证：AC⊥PB；

(Ⅱ)求证：PB//平面 AEC；　　　　　

(Ⅲ)求二面角 E-AC-B 的大小.

(18)(本小题共 13 分)

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考

试是否及格相互之间没有影响. 求：

(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

(19)(本小题共 14 分)

已知点 M(－2，0)，N(2，0)，动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨

迹为 W.

(Ⅰ)求 W 的方程；

(Ⅱ)若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求

、的最小值.

(20)(本小题共 14 分)

在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，…，则称

为“绝对差数列”.

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

(Ⅱ)若“绝对差数列”中，,，数列满足

n=1，2，3，…，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极

限值；

(Ⅲ)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

(1)在复平面内，复数 对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(2)若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥(b－c)”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件　　 (D)既不充分也不必要条件

(3)在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为

(A)36 个 (B)24 个

(C)18 个 (D)6 个

(4)平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交

于点 C，则动 点 C 的轨迹是

(A)一条直线 (B)一个圆

(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支

(5)已知 是上的增函数，那么 a 的取值范

围是

(A)(0，1)　　 (B)(0，)

(C),　　 (D)

(6)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意,( ).

恒成立”的只有

(A)　　　　 (B)



(C)　　　　 (D)

(7)设,则等于

(A)　　　　　　 (B)

(C) 　　　　　(D)

(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、

C 的机动车辆数如图所示，图中 　分别表示该时段单位时间通过路段 ,

的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 (A)   　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(C) 　 (D)

普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文史类) (北京卷)

第 II 卷(共 110 分)

(17)(本大题满分12分)已知

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。

(Ⅱ)=

===。

(18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

(Ⅰ)写出的分布列；(以列表的形式给出结论，不必写计算过程)

(Ⅱ)求的数学期望。(要求写出计算过程或说明道理)

解：(Ⅰ)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(Ⅱ)

(19)(本大题满分12分)如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

(Ⅰ)证明⊥；

(Ⅱ)求面与面所成二面角的大小。

解：(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

(Ⅱ)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

设平面PAB的法向量为，则，，得，；

设平面PDB的法向量为，则，，得，；

(20)(本大题满分12分)已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

(Ⅰ)证明；(Ⅱ)证明 其中和均为常数；

(Ⅲ)当(Ⅱ)中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。

证明(Ⅰ)令，则，∵，∴。

(Ⅱ)①令，∵，∴，则。

假设时，，则，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。

(Ⅲ)当时，，

令，得；

当时，，∴是单调递减函数；

当时，，∴是单调递增函数；

所以当时，函数在内取得极小值，极小值为

(21)(本大题满分12分)数列的前项和为，已知

(Ⅰ)写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

(22)(本大题满分14分)如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式；

(Ⅱ)当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。

(Ⅱ)当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求。