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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线
,过点
的直线
交抛物线于
,
,
,
两点.当
垂直于
轴时,
的面积为
.
0
(1)求抛物线的方程:
(2)设线段的垂直平分线交
轴于点
.
①证明:为定值:
②若,求直线
的斜率.
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【题目】对于定义在上的函数
,若存在
,使
恒成立,则称
为“
型函数”;若存在
,使
恒成立,则称
为“
型函数”.已知函数
.
(1)设函数.若
,且
为“
型函数”,求
的取值范围;
(2)设函数.证明:当
,
为“
(1)型函数”;
(3)若,证明存在唯一整数
,使得
为“
型函数”.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
,
,
,
.
(1)若,
,求
的值;
(2)若数列的前
项成公差不为0的等差数列,求
的最大值;
(3)若,是否存在
,使
为等比数列?若存在,求出所有符合题意的
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,两准线之间的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,设直线
,
的斜率分别为
,
.已知
.
①求的值;
②当的面积最大时,求直线
的方程.
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【题目】如图,某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道(假设河道足够长),现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为,
到河两岸距离
,
相等,
,
分别在两岸上,
.为方便游客观赏,拟围绕
区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度
(即
的周长)最短,工程师设计了以下两种方案:
方案1:设,求出
关于
的函数解析式
,并求出
的最小值.
方案2:设米,求出
关于
的函数解析式
,并求出
的最小值.
请从以上两种方案中自选一种解答.(注:如果选用了两种解答方案,则按第一种解答计分)
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【题目】以直角坐标系坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是
.
(1)求曲线C直角坐标方程;
(2)射线与曲线C相交于点
,直线
(t为参数)与曲线C相交于点D,E,求
.
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【题目】某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园,物流城3年建设完成,建成后若年投入x亿元,该年产生的经济净效益为亿元;湿地公园4年建设完成,建成后的5年每年投入见散点图.公园建成后若年投入x亿元,该年产生的经济净效益为
亿元.
(1)对湿地公园,请在中选择一个合适模型,求投入额x与投入年份n的回归方程;
(2)从建设开始的第10年,若对物流城投入0.25亿元,预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高?请说明理由.
参考数据及公式:,
;当
时,
,
,回归方程中的
;回归方程
斜率与截距
,
.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线与曲线
的普通方程;
(2)若直线与曲线
交于
、
两点,点
,求
的值.
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