《2025年魔力暑假A计划八年级数学湘教版》

1. 如图,$OD⊥AB于点D$,$OP⊥AC于点P$,且$AD = AP$,则$△AOD与△AOP$全等的理由是(D)


A.$SSS$
B.$ASA$
C.$SSA$
D.$HL$

答案： 1.D

2. 下列条件中,不能作出唯一直角三角形的是(A)
A.已知两个锐角
B.已知两条直角边长
C.已知一条直角边长和斜边长
D.已知一个锐角和其所对直角边长

答案： 2.A

3. 如图,在四边形$ABCD$中,$CB = CD$,$∠ABC = ∠ADC = 90^{\circ}$,$∠BAC = 35^{\circ}$,则$∠BCD$的度数为(C)


A.$145^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 3.C

4. 如图所示,已知在$△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AD = AC$,$DE⊥AB交BC于点E$。若$∠B = 28^{\circ}$,则$∠AEC$等于(B)


A.$28^{\circ}$
B.$59^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案： 4.B

5. 如图,$AD// BC$,$AB⊥BC$,$CD⊥DE$,$CD = ED$,$AD = 2$,$BC = 3$,则$△ADE$的面积为( )


A.1
B.2
C.5
D.无法确定

答案：
5.A　[解析]如图，过点D作BC的垂线交BC于点G，过点E作AD的垂线交AD的延长线于点F.

∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠CDG.
在Rt△EDF和Rt△CDG中，
{∠F = ∠DGC，
∠EDF = ∠CDG，
DE = DC，
∴△EDF≌△CDG(AAS)，
∴EF=CG=BC−BG=BC−AD=3−2=1，
∴S_{△ADE} = $\frac{1}{2}$AD·EF = $\frac{1}{2}$×2×1 = 1.

6. 如图,$AB⊥EF于点B$,$CD⊥EF于点D$,$BE = DF$。若要用“$HL$”判定$Rt△ABF≌Rt△CDE$,则需要添加的条件为______。

6. 如图,$AB⊥EF于点B$,$CD⊥EF于点D$,$BE = DF$。若要用“$HL$”判定$Rt△ABF≌Rt△CDE$,则需要添加的条件为AF = CE。

答案： 6.AF=CE

7. 如图,$MN// PQ$,$AB⊥PQ$,点$A$,$D在直线MN$上,点$B$,$C在直线PQ$上,点$E在AB$上,$AD + BC = 7$。若$AD = BE$,$DE = EC$,则$AB$的长为______7。

答案： 7.7　[解析]
∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE=∠EBC=90°.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，{DE = EC，
AD = BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴AE=BC.
∵AD+BC=7，
∴AB=AE+BE=BC+AD=7.

8. 如下图,已知$AC⊥OC$,$AD⊥OD$,$AC = AD$,$O为AB$上一点。求证：$∠ABC = ∠ABD$。
证明：∵AC⊥OC，AD⊥OD，
∴∠ACO=∠ADO=90°。
在Rt△ACO和Rt△ADO中，{AC = AD，
AO = AO，
∴Rt△ACO≌Rt△ADO(HL)，
∴∠CAO=∠DAO。
在△ACB和△ADB中，{AC = AD，
∠CAB = ∠DAB，
AB = AB，
∴△ACB≌△ADB(SAS)，
∴∠ABC=∠ABD。

答案： 8.证明:
∵AC⊥OC，AD⊥OD，
∴∠ACO=∠ADO=90°.
在Rt△ACO和Rt△ADO中，{AC = AD，
AO = AO，
∴Rt△ACO≌Rt△ADO(HL)，
∴∠CAO=∠DAO.
在△ACB和△ADB中，{AC = AD，
∠CAB = ∠DAB，
AB = AB，
∴△ACB≌△ADB(SAS)，
∴∠ABC=∠ABD.