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1.（2024迁安期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，则sin A的值为（ ）
A. $\frac{a}{b}$
B. $\frac{a}{c}$
C. $\frac{b}{c}$
D. $\frac{b}{a}$
A. $\frac{a}{b}$
B. $\frac{a}{c}$
C. $\frac{b}{c}$
D. $\frac{b}{a}$
答案：
B 解析：在Rt△ABC中，∠C = 90°，则sin A = $\frac{a}{c}$。故选B。
2.（2024六安期末）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：
B 解析：如图，连接AD，CD，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD = AD = $\sqrt{10}$，OC = AC = $\sqrt{5}$，在△ODA中，由等腰三角形三线合一，得∠OCD = 90°，则CD = $\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5}$。
∴sin∠AOB = $\frac{CD}{OD}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。故选B。
B 解析：如图，连接AD，CD，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD = AD = $\sqrt{10}$，OC = AC = $\sqrt{5}$，在△ODA中，由等腰三角形三线合一，得∠OCD = 90°，则CD = $\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5}$。
∴sin∠AOB = $\frac{CD}{OD}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。故选B。
2. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点. 若△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值是（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{1}{3}$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：
B 解析：由题意可知，AB = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5，AC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = $2\sqrt{5}$，BC = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{5}$。
∵AB² = 25，AC² = 20，BC² = 5，
∴AB² = AC² + BC²。
∴△ABC是直角三角形，∠ACB = 90°。
∴sin∠ABC = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选B。
∵AB² = 25，AC² = 20，BC² = 5，
∴AB² = AC² + BC²。
∴△ABC是直角三角形，∠ACB = 90°。
∴sin∠ABC = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选B。
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = α，∠ADC = β，用含α和β的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值为__________.
答案：
$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ 解析：在Rt△ABC中，sin α = $\frac{AC}{AB}$，
∴AB = $\frac{AC}{\sin\alpha}$。
在Rt△ADC中，sin β = $\frac{AC}{AD}$，
∴AD = $\frac{AC}{\sin\beta}$。
∴$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AC}{\sin\beta}$·$\frac{\sin\alpha}{AC}$ = $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$。
∴AB = $\frac{AC}{\sin\alpha}$。
在Rt△ADC中，sin β = $\frac{AC}{AD}$，
∴AD = $\frac{AC}{\sin\beta}$。
∴$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AC}{\sin\beta}$·$\frac{\sin\alpha}{AC}$ = $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$。
4.（推理能力）如图，AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD = 2PA.
（1）求证：直线PB是⊙O的切线.
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明.
（3）求sin∠OPA的值.
（1）求证：直线PB是⊙O的切线.
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明.
（3）求sin∠OPA的值.
答案：
解：（1）证明：如图，连接OB。
∵PA⊥AC，
∴∠PAO = 90°。
∵BC//OP，
∴∠BCO = ∠POA，∠CBO = ∠POB。
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCB。
∴∠POB = ∠POA。
又
∵PO = PO，OB = OA，
∴△POB≌△POA（SAS）。
∴∠PBO = ∠PAO = 90°。
∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB是⊙O的切线。
（2）2PO = 3BC。
证明：
∵△POB≌△POA，
∴PB = PA。
∵BD = 2PA，
∴BD = 2PB。
∴$\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$。
∵BC//PO，
∴△DBC∽△DPO。
∴$\frac{BC}{PO}$ = $\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$。
∴2PO = 3BC。
（3）
∵CB//OP，
∴△DBC∽△DPO。
∴$\frac{DC}{DO}$ = $\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$，即DC = $\frac{2}{3}$OD。
∵OC + CD = OD，
∴OC = $\frac{1}{3}$OD。
∴DC = 2OC。
设OA = x，PA = y。则OD = 3x，OB = x，BD = 2y。
在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD² = OB² + BD²，$(3x)^{2}=x^{2}+(2y)^{2}$，即2x² = y²。
∵x＞0，y＞0，
∴y = $\sqrt{2}x$，OP = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = $\sqrt{3}x$。
∴sin∠OPA = $\frac{OA}{OP}$ = $\frac{x}{\sqrt{3}x}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解：（1）证明：如图，连接OB。
∵PA⊥AC，
∴∠PAO = 90°。
∵BC//OP，
∴∠BCO = ∠POA，∠CBO = ∠POB。
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCB。
∴∠POB = ∠POA。
又
∵PO = PO，OB = OA，
∴△POB≌△POA（SAS）。
∴∠PBO = ∠PAO = 90°。
∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB是⊙O的切线。
（2）2PO = 3BC。
证明：
∵△POB≌△POA，
∴PB = PA。
∵BD = 2PA，
∴BD = 2PB。
∴$\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$。
∵BC//PO，
∴△DBC∽△DPO。
∴$\frac{BC}{PO}$ = $\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$。
∴2PO = 3BC。
（3）
∵CB//OP，
∴△DBC∽△DPO。
∴$\frac{DC}{DO}$ = $\frac{BD}{PD}$ = $\frac{2}{3}$，即DC = $\frac{2}{3}$OD。
∵OC + CD = OD，
∴OC = $\frac{1}{3}$OD。
∴DC = 2OC。
设OA = x，PA = y。则OD = 3x，OB = x，BD = 2y。
在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD² = OB² + BD²，$(3x)^{2}=x^{2}+(2y)^{2}$，即2x² = y²。
∵x＞0，y＞0，
∴y = $\sqrt{2}x$，OP = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = $\sqrt{3}x$。
∴sin∠OPA = $\frac{OA}{OP}$ = $\frac{x}{\sqrt{3}x}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 如图，在△ACB中，∠C = 90°，sin B = $\frac{1}{2}$. 若AC = 6，则BC的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 6$\sqrt{3}$ D. 12$\sqrt{3}$
A. 8 B. 12 C. 6$\sqrt{3}$ D. 12$\sqrt{3}$
答案：
C 解析：在Rt△ACB中，sin B = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{6}{AB}$ = $\frac{1}{2}$，
∴AB = 12。
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}-6^{2}}$ = $6\sqrt{3}$。
故选C。
∴AB = 12。
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}-6^{2}}$ = $6\sqrt{3}$。
故选C。
4. 如图，$l_1// l_2$，A，B分别是直线$l_1$，$l_2$上的点，AB = 3，sin α = $\frac{2}{3}$，则直线$l_1$与$l_2$之间的距离为______.
答案：
2 解析：如图，过点A作AC⊥l₂于点C。
∵sin α = $\frac{AC}{AB}$，
∴AC = AB·sin α。
∵AB = 3，sin α = $\frac{2}{3}$，
∴AC = 3×$\frac{2}{3}$ = 2。
∴直线l₁与l₂之间的距离为2。
2 解析：如图，过点A作AC⊥l₂于点C。
∵sin α = $\frac{AC}{AB}$，
∴AC = AB·sin α。
∵AB = 3，sin α = $\frac{2}{3}$，
∴AC = 3×$\frac{2}{3}$ = 2。
∴直线l₁与l₂之间的距离为2。
1. 在△ABC中，已知∠C = 90°，AC = 4$\sqrt{5}$，sin A = $\frac{2}{3}$，那么BC边的长是（ ）
A. 2$\sqrt{5}$
B. 8
C. 4$\sqrt{5}$
D. 12
A. 2$\sqrt{5}$
B. 8
C. 4$\sqrt{5}$
D. 12
答案：
B 解析：
∵sin A = $\frac{2}{3}$ = $\frac{BC}{AB}$，
∴设BC = 2k，则AB = 3k。
由勾股定理，得AC² + BC² = AB²，
即$(4\sqrt{5})^{2}+(2k)^{2}=(3k)^{2}$。
解得k = 4（负值已舍去）。
∴BC = 2k = 8。
故选B。
∵sin A = $\frac{2}{3}$ = $\frac{BC}{AB}$，
∴设BC = 2k，则AB = 3k。
由勾股定理，得AC² + BC² = AB²，
即$(4\sqrt{5})^{2}+(2k)^{2}=(3k)^{2}$。
解得k = 4（负值已舍去）。
∴BC = 2k = 8。
故选B。
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