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1.（2024秦皇岛青龙县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（ ）
A. $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
B. $\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
C. ∠AED = ∠B
D. ∠ADE = ∠C
A. $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
B. $\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
C. ∠AED = ∠B
D. ∠ADE = ∠C
答案：
B
- **解析**：因为$\angle DAE=\angle CAB$，所以当$\angle ADE = \angle C$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$；当$\angle AED=\angle B$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$；当$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。故选B。
- **解析**：因为$\angle DAE=\angle CAB$，所以当$\angle ADE = \angle C$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$；当$\angle AED=\angle B$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$；当$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$时，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。故选B。
2. 如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F. 若$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，AB = 3，则AF的长为（ ）
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 2
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 2
答案：
C
- **解析**：因为四边形$ABCD$为菱形，所以$AD// CB$，$AB = BC = AD$。
- 又因为$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$，进而$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{3}$。
- 由于$AD// CB$，所以$\triangle FAE\sim\triangle FBC$，则$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AF}{AF + 3}=\frac{1}{3}$，解得$AF=\frac{3}{2}$。故选C。
- **解析**：因为四边形$ABCD$为菱形，所以$AD// CB$，$AB = BC = AD$。
- 又因为$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$，进而$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{3}$。
- 由于$AD// CB$，所以$\triangle FAE\sim\triangle FBC$，则$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AF}{AF + 3}=\frac{1}{3}$，解得$AF=\frac{3}{2}$。故选C。
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.
（1）若AD·AB = AE·AC，求证：△ADE∽△ACB.
（2）若AB = 8，AC = 6，AD = 3，当AE = ________时，△ADE与△ACB相似.
（1）若AD·AB = AE·AC，求证：△ADE∽△ACB.
（2）若AB = 8，AC = 6，AD = 3，当AE = ________时，△ADE与△ACB相似.
答案：
- **（1）证明**：因为$AD\cdot AB = AE\cdot AC$，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
- 又因为$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
- **（2）**$\frac{9}{4}$或$4$
- 又因为$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
- **（2）**$\frac{9}{4}$或$4$
4. 如图，AD，BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A. AB//CD
B. ∠A = ∠D
C. $\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D. $\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
A. AB//CD
B. ∠A = ∠D
C. $\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D. $\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
答案：
D
- **解析**：A. 由$AB// CD$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- B. 由$\angle AOB=\angle DOC$，$\angle A=\angle D$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- C. 由$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，$\angle AOB=\angle DOC$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- D. 已知两组对应边的比相等，但其夹角不一定对应相等，不能判定$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似，故本选项符合题意。故选D。
- **解析**：A. 由$AB// CD$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- B. 由$\angle AOB=\angle DOC$，$\angle A=\angle D$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- C. 由$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，$\angle AOB=\angle DOC$能判定$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，故本选项不符合题意。
- D. 已知两组对应边的比相等，但其夹角不一定对应相等，不能判定$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似，故本选项符合题意。故选D。
5. 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC = CD.
求证：△AEB∽△CED.
求证：△AEB∽△CED.
答案：
**证明**：因为$BE$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle ABE=\angle CBE$。
- 因为$BC = CD$，所以$\angle CDE=\angle CBE=\angle ABE$。
- 又因为$\angle AEB=\angle CED$，所以$\triangle AEB\sim\triangle CED$。
- 因为$BC = CD$，所以$\angle CDE=\angle CBE=\angle ABE$。
- 又因为$\angle AEB=\angle CED$，所以$\triangle AEB\sim\triangle CED$。
6.（2024西安长安区期末）如图，已知∠1 = ∠2，点D在BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A. ∠B = ∠ADE
B. ∠2 = ∠EDC
C. $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
D. $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
A. ∠B = ∠ADE
B. ∠2 = ∠EDC
C. $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
D. $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
答案：
D
- **解析**：A. 因为$\angle1=\angle2$，所以$\angle1+\angle DAC=\angle2+\angle DAC$，即$\angle BAC=\angle DAE$。又因为$\angle B=\angle ADE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- B. 因为$\angle2=\angle EDC$，所以$\angle E=\angle C$。又因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- C. 因为$\angle BAC=\angle DAE$，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- D. $\angle BAC=\angle DAE$，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，不符合相似三角形的判定定理，不能推出$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，故本选项符合题意。故选D。
- **解析**：A. 因为$\angle1=\angle2$，所以$\angle1+\angle DAC=\angle2+\angle DAC$，即$\angle BAC=\angle DAE$。又因为$\angle B=\angle ADE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- B. 因为$\angle2=\angle EDC$，所以$\angle E=\angle C$。又因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- C. 因为$\angle BAC=\angle DAE$，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。故本选项不符合题意。
- D. $\angle BAC=\angle DAE$，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，不符合相似三角形的判定定理，不能推出$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，故本选项符合题意。故选D。
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后，得到△DEC，点D刚好落在边AB上，DE交BC于点O.
（1）n的值是________.
（2）若F是DE的中点，求证：△ABC∽△FCO.
（1）n的值是________.
（2）若F是DE的中点，求证：△ABC∽△FCO.
答案：
- **（1）**$60$
- **（2）证明**：因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=90^{\circ}-\angle B = 60^{\circ}$。
- 由旋转，得$CD = CA$，所以$\triangle ACD$是等边三角形，$\angle ACD = 60^{\circ}$。
- 因为$\triangle ABC$绕点$C$旋转后得$\triangle DEC$，所以$\angle CDE=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle DCE=\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle ACD$，$AC// DE$，$\angle COF=\angle ACB = 90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle DCE$中，因为$F$是$DE$的中点，所以$CF = DF$，$\triangle CDF$为等边三角形，$\angle DFC = 60^{\circ}$，$\angle A=\angle OFC$，所以$\triangle ABC\sim\triangle FCO$。
- **（2）证明**：因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=90^{\circ}-\angle B = 60^{\circ}$。
- 由旋转，得$CD = CA$，所以$\triangle ACD$是等边三角形，$\angle ACD = 60^{\circ}$。
- 因为$\triangle ABC$绕点$C$旋转后得$\triangle DEC$，所以$\angle CDE=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle DCE=\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle ACD$，$AC// DE$，$\angle COF=\angle ACB = 90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle DCE$中，因为$F$是$DE$的中点，所以$CF = DF$，$\triangle CDF$为等边三角形，$\angle DFC = 60^{\circ}$，$\angle A=\angle OFC$，所以$\triangle ABC\sim\triangle FCO$。
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