《2025年优化探究高考总复习数学人教版》

5.（2024·福建福州模拟）已知二次函数 $f(x)=ax^{2}-x + 2a - 1$. 若 $a＞0$，设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最小值为 $g(a)$，求 $g(a)$ 的表达式.

答案： 解：①当 $0\frac{1}{2a}1$，即 $a＞\frac{1}{2}$ 时， $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增， 此时 $g(a)=f(1)=3a - 2$。 ②当 $1\leqslant\frac{1}{2a}\leqslant2$，即 $\frac{1}{4}\leqslant a\leqslant\frac{1}{2}$ 时， $f(x)$ 在区间 $[1,\frac{1}{2a}]$ 上单调递减，在区间 $[\frac{1}{2a},2]$ 上单调递增， 此时 $g(a)=f(\frac{1}{2a})=2a-\frac{1}{4a}-1$。 ③当 $\frac{1}{2a}＞2$，即 $0a\frac{1}{4}$ 时， $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递减， 此时 $g(a)=f(2)=6a - 3$。 综上所述，$g(a)=\begin{cases}6a - 3,a\in(0,\frac{1}{4})\\2a-\frac{1}{4a}-1,a\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\3a - 2,a\in(\frac{1}{2},+\infty)\end{cases}$ 。

知识点一 幂的运算
1. 指数与指数运算
根式的性质
（1）$(\sqrt[n]{a})^n = a$（$a$使$\sqrt[n]{a}$有意义）.
（2）当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^n} =$____；
当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^n} =$____$=\begin{cases}a,a\geqslant0,\\ -a,a＜0.\end{cases}$

答案： $a$@@$|a|$

2. 分数指数幂的意义

答案： 没有意义