《2025年优化探究高考总复习数学人教版》

[例 1] 四棱锥 $P - ABCD$ 的底面为正方形 $ABCD$， $PA\perp$底面 $ABCD$，$AB = 2$，若该四棱锥的所有顶点都在体积为$\frac{9\pi}{2}$的同一球面上，则 $PA$ 的长为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. $\frac{1}{2}$

答案：
[答案] C [解析] 连接AC，BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE//PA，OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得$R = \frac{1}{2}PC = \frac{1}{2}\sqrt{PA^{2}+8}$，由球的体积可得$\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{1}{2}\sqrt{PA^{2}+8})^{3}=\frac{9}{2}\pi$，解得PA = 1。

[例 2] 已知正三棱锥 $P - ABC$，点 $P$，$A$，$B$，$C$ 都在半径为$\sqrt{3}$的球面上，若 $PA$，$PB$，$PC$ 两两垂直，求正三棱锥 $P - ABC$ 外接球球心到截面 $ABC$ 的距离.

答案：
[解] 把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心O为体对角线PD的中点，且PO = $\sqrt{3}$，则正方体的棱长为2，又P到平面ABC的距离为h，$V_{P - ABC}=V_{B - APC}$，$\therefore\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2\sqrt{2})^{2}\times h=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2$，$\therefore h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即球心O到截面ABC的距离为PO - h = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

1. 已知四面体 $ABCD$ 的四个面都为直角三角形，且 $AB\perp$平面 $BCD$，$AB = BD = CD = 2$，若该四面体的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为（ ）
A. $3\pi$
B. $2\sqrt{3}\pi$
C. $4\sqrt{3}\pi$
D. $12\pi$

答案：
D $\because BD = CD = 2$且$\triangle BCD$为直角三角形，$\therefore BD\perp CD$。又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，$\therefore CD\perp AB$，$\therefore CD\perp$平面ABD。由此可将四面体ABCD放入棱长为2的正方体中，如图所示，正方体的外接球即为该四面体的外接球O。又正方体外接球半径R为体对角线的一半，$\therefore R=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{3}$，$\therefore$球O的表面积S = 4$\pi$R² = 12$\pi$。

[例 3] （1）在正三棱锥 $P - ABC$ 中，$PA\perp PB$，$P$ 到平面 $ABC$ 的距离为 2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. $36\pi$ B. $16\pi$
C. $\frac{16\pi}{3}$ D. $4\pi$
（2）在四面体 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt{2}$，$DA = DB = CA = CB = 1$，则四面体 $ABCD$ 的外接球的表面积为（ ）
A. $\pi$ B. $2\pi$
C. $3\pi$ D. $4\pi$

答案：
[答案]
(1)A
(2)B [解析]
(1)因为PA⊥PB，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等。设PA = PB = PC = a，则AB = BC = CA = $\sqrt{2}$a。根据$V_{A - PBC}=V_{P - ABC}$，得$\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times a^{2}\times a=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times(\sqrt{2}a)^{2}\sin60^{\circ}\times2$，解得a = $2\sqrt{3}$。设三棱锥P - ABC外接球的半径为R，则2R = $\sqrt{PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}}=\sqrt{36}=6$，所以R = 3。故所求外接球的表面积为36$\pi$。
(2)如图，由AB = $\sqrt{2}$，DA = DB = CA = CB = 1，得CA² + CB² = AB²，AD² + BD² = AB²，所以∠ACB = ∠ADB = 90°，设O为AB的中点，则OA = OB = OC = OD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，即O为外接球的球心，球的半径R = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S = 4$\pi$R² = 4$\pi\times\frac{1}{2}=2\pi$。