《2025年优化探究高考总复习数学人教版》

6. (2024·安徽合肥模拟)若函数$f(x)=\frac{2x^{2}+3}{1 + x^{2}}$，则$f(x)$的值域为 （ ）
A. $(-\infty,3]$
B. $(2,3)$
C. $(2,3]$
D. $[3,+\infty)$

答案： C

7. 若函数$f(x)=\frac{2x + m}{x + 1}$在区间$[0,1]$上的最大值为3，则实数$m =$__________.

答案： 3

[知识梳理]
知识点一 函数的奇偶性

答案： $f(-x)=f(x)$@@$y$轴@@$f(-x)= -f(x)$@@原点@@

知识点二 函数的周期性
1. 周期函数
设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对每一个$x\in D$都有$x + T\in D$，且 ____________，那么函数$f(x)$就叫做周期函数，非零常数$T$为这个函数的周期。
2. 最小正周期
如果在周期函数$f(x)$的所有周期中存在一个__________的正数，那么这个__________就叫做$f(x)$的最小正周期。
3. 函数周期性的3个常用结论
对于$f(x)$定义域内任一自变量的值$x$，若$f(x + a)=-f(x)$，则$T = 2a(a＞0)$；若$f(x + a)=\dfrac{1}{f(x)}$，则$T = 2a(a＞0)$；若$f(x + a)=-\dfrac{1}{f(x)}$，则$T = 2a(a＞0)$。

答案：
$f(x\pm T)=f(x)$@@最小@@最小正数