《2025年优化探究高考总复习数学人教版》

3. 已知集合$A = \{ 1,2,3,5,10\}$，$B = \{ x|x$为质数$\}$，则$A\cap B$的非空子集的个数为 （ ）
A. 4
B. 7
C. 8
D. 16

答案： B

4. 已知集合$A = \{ x|x = 2k+\frac{1}{3},k\in\mathbf{Z}\}$，$B = \{ x|x =\frac{2k + 1}{3},k\in\mathbf{Z}\}$，则 （ ）
A. $A\subseteq B$
B. $A\cap B=\varnothing$
C. $A = B$
D. $A\supseteq B$

答案： A

5.（2024·九省联考测试）已知集合$A = \{ - 2,0,2,4\}$，$B = \{ x||x - 3|\leq m\}$. 若$A\cap B = A$，则$m$的最小值为______.

答案： 5

[例3] （1）（2023·新高考I卷）已知集合$M = \{ - 2,-1,0,1,2\}$，$N = \{ x|x^2 - x - 6\geq 0\}$，则$M\cap N =$（ ）
A. $\{ - 2,-1,0,1\}$ B. $\{ 0,1,2\}$ C. $\{ - 2\}$ D. $\{ 2\}$
（2）（2023·全国甲卷）设全集$U=\mathbf{Z}$，集合$M = \{ x|x = 3k + 1,k\in\mathbf{Z}\}$，$N = \{ x|x = 3k + 2,k\in\mathbf{Z}\}$，则$\complement_U(M\cup N)=$ （ ）
A. $\{ x|x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$ B. $\{ x|x = 3k - 1,k\in\mathbf{Z}\}$ C. $\{ x|x = 3k - 2,k\in\mathbf{Z}\}$ D. $\varnothing$

答案： C@@A

[例4] （1）（2020·全国Ⅰ卷）设集合$A = \{ x|x^2 - 4\leq 0\}$，$B = \{ x|2x + a\leq 0\}$，且$A\cap B = \{ x|-2\leq x\leq 1\}$，则$a =$ （ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4

答案： B

（2）设$A = \{ - 4,2a - 1,a^2\}$，$B = \{ a - 5,1 - a,9\}$. 已知$A\cap B = \{ 9\}$，则$a =$____，$A\cup B =$____.

答案： -3@@\{-7,-4,-8,4,9\}

6.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合$A = \{ - 1,1,2,4\}$，$B = \{ x||x - 1|\leq 1\}$，则$A\cap B =$ （ ）
A. $\{ - 1,2\}$
B. $\{ 1,2\}$
C. $\{ 1,4\}$
D. $\{ - 1,4\}$

答案： B

7.（2024·河南焦作模拟）若集合$A = \{ x|2x^2 - 9x＞0\}$，$B = \{ x|x\geq 2\}$，则$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B =$ （ ）
A. $[2,\frac{9}{2}]$
B. $\varnothing$
C. $[0,+\infty)$
D. $(0,+\infty)$

答案： C

8.（多选）已知集合$A = \{ x|x + 1\leq 0\}$，$B = \{ x|x\geq a\}$. 若$A\cup B=\mathbf{R}$，则实数$a$的值可以为 （ ）
A. 2
B. -1
C. 0
D. -2

答案： BD

[例5] （1）（2024·云南保山模拟）定义集合运算：$A + B = \{ z|z = x + y,x\in A,y\in B\}$，设$A = \{ 1,2\}$，$B = \{ 1,2,3\}$，则集合$A + B$的所有元素之和为 （ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
（2）（多选）（2024·湖南邵阳模拟）若对任意$x\in A$，$\frac{1}{x}\in A$，则称$A$为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是 （ ）
A. $\{ - 1,1\}$ B. $\{ \frac{1}{2},2\}$ C. $\{ x|x^2＞1\}$ D. $\{ x|x＞0\}$

答案： A@@ABD