《2025年优化探究高考总复习数学人教版》

[例 4] 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$，直线 $l:4x - 5y + 40 = 0$，椭圆上是否存在一点，使得它到直线 $l$ 的距离最小或最大？并求最小值与最大值.

答案： [解] 设与直线$l:4x - 5y + 40 = 0$平行的直线$l':4x - 5y + m = 0$， 当直线$l'$与椭圆相切于$A$点时，此时$A$到$l$距离最小；当直线$l'$与椭圆相切于$B$点时，此时$B$到$l$的距离最大。 由$\begin{cases}4x - 5y + m = 0,\\\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$，消去$y$得$25x^{2}+8mx + m^{2}-225 = 0$，$\Delta=64m^{2}-100(m^{2}-225)=0$，$\therefore m=\pm25$。 当直线经过点$A(-4,\frac{9}{5})$时，$l_1:4x - 5y + 25 = 0$，此时距离最小，$d_{\min}=\frac{|40 - 25|}{\sqrt{41}}=\frac{15\sqrt{41}}{41}$。 当直线经过点$B(4,-\frac{9}{5})$时，$l_2:4x - 5y - 25 = 0$，此时距离最大，$d_{\max}=\frac{|40 + 25|}{\sqrt{41}}=\frac{65\sqrt{41}}{41}$。

4. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 上的点 $A(3,-1)$ 作椭圆的切线 $l$，则过点 $A$ 且与直线 $l$ 垂直的直线方程为 （ ）
A. $x - y - 3 = 0$
B. $x + y - 2 = 0$
C. $2x + 3y - 3 = 0$
D. $3x - y - 10 = 0$

答案： B 过椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的点$A(3,-1)$的切线$l$的方程为$\frac{3x}{12}+\frac{(-y)}{4}=1$，即$x - y - 4 = 0$，切线$l$的斜率为1，与直线$l$垂直的直线的斜率为$-1$，过$A$点且斜率为$-1$垂直的直线方程为$y + 1=-(x - 3)$，即$x + y - 2 = 0$。

[例 5] 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左焦点为 $F$，$O$ 为坐标原点，设过点 $F$ 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $G$，求点 $G$ 横坐标的取值范围.

答案： [解] 设直线$AB$的方程为$y = k(x + 1)(k\neq0)$，代入$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，整理得$(1 + 2k^{2})x^{2}+4k^{2}x + 2k^{2}-2 = 0$。 因为直线$AB$过椭圆的左焦点$F$，所以直线$AB$与椭圆必有两个交点，设点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),AB$的中点$N(x_0,y_0)$，则$x_1 + x_2=-\frac{4k^{2}}{2k^{2}+1},x_0=\frac{1}{2}(x_1 + x_2)=-\frac{2k^{2}}{2k^{2}+1}$，$y_0=k(x_0 + 1)=\frac{k}{2k^{2}+1}$，所以$AB$的垂直平分线$NG$的方程为$y - y_0=-\frac{1}{k}(x - x_0)$。 令$y = 0$，得$x_G=x_0 + ky_0=-\frac{2k^{2}}{2k^{2}+1}+\frac{k^{2}}{2k^{2}+1}=-\frac{k^{2}}{2k^{2}+1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4k^{2}+2}$。 因为$k\neq0$，所以$-\frac{1}{2}x_G0$，所以点$G$横坐标的取值范围为$(-\frac{1}{2},0)$。

5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上两个不同的点 $A,B$ 关于直线 $y = mx+\frac{1}{2}$ 对称. 求实数 $m$ 的取值范围.

答案： 解：由题意知$m\neq0$，可设直线$AB$的方程为$y = -\frac{1}{m}x + b$。 由$\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,\\y = -\frac{1}{m}x + b\end{cases}$消去$y$，得$(\frac{1}{2}+\frac{1}{m^{2}})x^{2}-\frac{2b}{m}x + b^{2}-1 = 0$。因为直线$y = -\frac{1}{m}x + b$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$有两个交点，所以$\Delta=-2b^{2}+2+\frac{4}{m^{2}}＞0$。① 将线段$AB$中点$M(\frac{2mb}{m^{2}+2},\frac{m^{2}b}{m^{2}+2})$代入直线方程$y = mx+\frac{1}{2}$，解得$b = -\frac{m^{2}+2}{2m^{2}}$。② 由①②得$m$的取值范围是$(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup(\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty)$。