新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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1. 设$S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}$，$S_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$，$S_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$，…，$S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n + 1)^2}$，请你应用所学知识，回答以下问题。
(1)求$\sqrt{S_1}$，$\sqrt{S_2}$，$\sqrt{S_3}$，$\sqrt{S_4}$的值；
(2)求$\sqrt{S_n}$的值；
(3)$\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\cdots+\sqrt{S_{2024}}$的值为多少？
答案：(1)$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{6}$，$\frac{13}{12}$，$\frac{21}{20}$；(2)$\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}$；(3)$24\frac {24}{25}$
解析：(1)$S_1=1 + 1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，$\sqrt{S_1}=\frac{3}{2}$；$S_2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{49}{36}$，$\sqrt{S_2}=\frac{7}{6}$；$S_3=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{169}{144}$，$\sqrt{S_3}=\frac{13}{12}$；$S_4=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{441}{400}$，$\sqrt{S_4}=\frac{21}{20}$。
(2)$S_n=1+\frac{(n + 1)^2 + n^2}{n^2(n + 1)^2}=\frac{n^2(n + 1)^2 + 2n^2 + 2n + 1}{n^2(n + 1)^2}=\left(\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}\right)^2$，$\sqrt{S_n}=\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}=1+\frac{1}{n(n + 1)}$。
(3)原式=$(1+\frac {1}{1}+\frac {1}{2})+(1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+...+(1+\frac {1}{24}-\frac {1}{25})$
$=24+(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+...+\frac {1}{24}-\frac {1}{25})$
$=24\frac {24}{25}$
2. 某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成面积为$9000m^2$的长方形场地，且其长、宽的比为$5:2$。
(1)求改建后的长方形场地的长和宽分别为多少米。
(2)如果把原来面积为$10000m^2$的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为长方形新场地的围墙，这些金属栅栏是否够用？为什么？
答案：(1)长150m，宽60m；(2)不够用
解析：(1)设长$5x$，宽$2x$，$5x\cdot2x=9000$，$x^2 = 900$，$x = 30$，长$150m$，宽$60m$。
(2)正方形边长$\sqrt{10000}=100m$，周长$400m$。长方形周长$2\times(150 + 60)=420m$，$420>400$，不够用。
