25.1简单的随机抽样 说课稿

大连市 沙河口区 第三十一中学 郑洪艳

一、教材分析

1、教材的地位与作用

《数学课程标准》对本章的要求：学生体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果做出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系。

2、教学内容

本章的主要内容有四节：简单随机抽样、用样本估计总体、概率的涵义、概率的预测。前两节属于统计范畴，后两节属于概率范畴。本节主要让学生知道抽样调查是了解总体情况的一种重要的数学方法，通过简单随机抽样，感受随机抽样方法的科学性。本节是后几节学习的基础。只有学会了收集数据才能进行分析数据，才可以用样本去估计总体。

二、学情分析

在前两年，我们已经介绍过普查和抽样调查，学生对普查和抽样调查已经有了初步认识，已经初步体会了普查的局限性和抽样调查的必要性。经历了抽样调查的过程而没有明确具体的方法及步骤，只停留在感官的认识上，没有上升到理论的高度。本校学生基础比较薄弱，而且对统计部分的螺旋式上升的安排已逐渐失去兴趣，因此本节采用学生感兴趣的例子引课，并且在课堂上安排学生感兴趣的活动，尽量调动学生的积极性。

三、教学目标、重点、难点

知识与技能：感受抽样的必要性，经历收集数据的过程，知道抽样调查是了解总体情况的一种重要的数学方法

解决问题：会用简单的随机抽样选取样本，会收集、描述、分析数据，并能做出判断，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

情感与态度：能积极的参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲，体会抽样调查在现实生活中的重要运用，培养学生抽样思考问题的意识，养成良好的个性品质。

重点：会进行简单的随机抽样

难点：理解简单的随机抽样

四、教学过程的设计分析

本节主要采用发现教学的方法，通过师生的互动使学生在活动的过程当中自己发现问题探索新知，教师辅以适当的指导。

1、引入

看漫画《买火柴》（小明为了给爷爷买到好用的火柴把一盒火柴都划了试验）通过漫画来表现此时使用普查的荒诞性，使学生在笑过之后有所感悟，通过学生感兴趣的方式使学生体会普查的局限性及抽样调查的必要性。

附图

2、知识点设计

观看双色球彩票开奖实况，激发学生兴趣，使学生对随机性及简单随机抽样方法有个感官的认识，激起学生强烈的求知欲望，自己去思考随机性及简单随机抽样方法特性；邀请每一个学生参加抽奖过程，更好的调动学困生的积极性。

3、例题习题的设计

例题是让学生在100个学生成绩中用简单的随机抽样方法抽取两个样本，是几个例子后给出的，学生对简单随机抽样方法已有了较好的理解，经过教师分析后，可以让学生独立完成，深化重点。让学生在完成的过程当中发现问题，而不是直接强调简单随机抽样方法的注意事项，培养学生发现问题并解决问题的能力。把注意事项放在例题处说，分散了难点。

习题采取有奖问答形式，充分的调动学生的积极性，并能由此引出简单的随机抽样方法，让学生设计方案，在刚刚观看双色球彩票开奖实况后对简单随机抽样方法形成的感官认识的基础上进一步加深对简单的随机抽样的理解，选人过程及选题过程都是利用的简单随机抽样的方法，让学生更进一步加深对简单的随机抽样的理解，突破重点和难点。习题的选取采取层层递进式，其中有一题是回答简单随机抽样方法的步骤，让学生进一步明确知识点，从感性认识上升到理性认识的高度。最后一个习题是让学生对抽样得来的样本进行分析，从而给出一个整体评价，让学生明白知识识有用的，并且相互之间是有联系的，达到新旧知识的融会贯通。

作业是设计一个调查方案，了解本校九年级学生每天晚上的学习时间有多长？基于学生情况考虑，这个内容放在课上有一定难度，所以放在课后，而且到了九年级，学生的学习比较紧张，应注意合理安排时间，这个调查对学生有用。

4、教学手段

采用多媒体教学，使用电脑课件、大屏幕投影，使学生能看到抽奖的实况录像，获得感官认识。采用实物投影仪，展示学生在做例题时发现的问题，让学生明确简单的随机抽样方法的注意事项。

5、师生活动

（一）活动1.

双色球彩票开奖实况

每个人选四个数（从1～33中选）看谁能中奖

（二）活动2.

运气+实力=超级大奖

（1）全班选5人参加活动，怎样才公平？

（2）五人通过摸球选题，（四个黄色一个白色的，白色为一等奖，黄色为二等奖）答对即中奖；座位上人答对获参与奖。

（三）活动3。

计算器产生随机数

下面是某年级100名学生的考试成绩，它们已经按照学号顺序排列如下（每行有10个数据）：

97，92，89，86，93，73，74，72，60，98

92，83，89，93，72，77，79，75，80，93

81，88，74，87，92，88，75，92，89，82

93，84，87，90，88，90，80，89，82，78

90，78，86，90，83，73，75，67，76，55

88，78，82，77，87，75，84，70，80，66

95，68，80，70，78，71，80，65，82，83

90，70，82，85，96，70，73，86，87，81

60，64，62，81，69，63，66，63，64，53

61，72，66，80，90，93，87，60，82，85

（1）       抽取含有5个个体的样本

（2）       抽取含有20个个体的样本

（四）活动4。

分析数据

用简单随机抽样的方法收集数据，对这些数据加以分析，对这一年级100名学生成绩加以评价

（五）活动5.

拓展延伸: 随机抽样的几种常用方法介绍。将知识系统化、条理化、网络化。

五、教学评价

知识点最好有学生总结出，如果学生有困难教师可适当引导，如果还不能总结好，教师可干脆给出相关定义，在后面活动中进一步强调。在回答简单随机抽样的方法步骤时，对学生所给答案要充分给以肯定，鼓励学生进一步简化并完善，如果还达不到要求，教师可连同学生一起回忆整个过程。尽量还是让学生总结。

本课以学生活动为主，安排学生感兴趣的活动，让学生经历活动探究过程，使学生在活动中主动探索新知；注重所学内容与日常生活、社会的联系，使学生在玩中学；并安排了所学知识应用部分，使学生感受学习的必要性与实用性；知识拓展部分拓宽了学生视野。

6.1从实际问题到方程  说课稿

大连市沙河口区第三十一中学  郑洪艳

一、教材分析

1、教材的地位与作用

《数学课程标准》对本章的要求：学生探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。

在教学中应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系。

解一元一次方程是有理数和整式知识的进一步应用。它是初等数学的一项基本知识和技能，也是今后学习一次方程组、一元一次不等式及一元二次方程的基础。一元一次方程在实际问题中的应用，是中学阶段应用数学知识解决实际问题的开端，也是让学生体会数学价值观，增强学数学、用数学意识的重要题材。教材中渗透的数学建模思想和类比、化归、归纳等数学思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学修养与素质。

2、教学内容

本章的主要内容有两个方面：（1）一元一次方程的基本概念及其解法；（2）一元一次方程在实际问题中的应用、实践与探索。教材注重了两者的有机结合，让学生经历和体会从实际问题中抽象出数学模型，并回到世界问题中解释和检验的过程。这是初等数学的基本运算工具，也是提高学生思维能力和分析问题、解决问题能力的重要载体。教材从实例出发，引入一元一次方程的有关概念，讨论一元一次方程的解法及其应用，注重渗透数学建模的思想，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识与能力。

二、学情分析

在小学阶段，学生已对简单方程有所认识，要注重联系实际，淡化概念教学。本校学生基础比较薄弱，课上尽量给学生更多的时间和空间尝试，不多作展开，通过试验的方法得出方程解的过程，尽量让学生试一试，并告诉学生这也是一种基本的数学思想方法，也可以用来检验一个数是不是方程的解。

三、教学目标、重点、难点

1．知识与技能：能辨别出方程,能判断一个数值是否是某个方程的解。

2．过程与方法：以求解一个实际问题为切入点，经历实践、思考、探索、

讨论、交等活动，培养解决问题的兴趣和能力。探索具体问题中的数量关系和变化规律用方程进行描述，初步体验方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会数学的应用价值。

3．情感态度与价值观：通过自主学习活动逐步养成良好的学习习惯，提高

自主学习能力和合作精神，渗透数学建模思想方法。

重点:会根据问题列方程

难点:理解方程的解

第三单元  二次函数

一、教 法 建 议

抛砖引玉

    教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x²，y=-x²的图象，总结出其性质，图象的形状――抛物线.以二次函数y=ax²为基础，以具体实例研究，然后由两个特殊型过渡到一般型的二次函数.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，再通过描点画出二次函数的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.图象是轴对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；结合二次方程的有关知识，由一般式可写成截距式的形式.三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种形式的特点[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x轴有交点时，可选用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用.

    在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、配方法、待定系数法.要求动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法.

批点迷津

    二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.如何结合代数、几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，是求二次函数解析式的关键所在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，并根据自变量的取值范围画出图象.一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x取值范围必须是实数.若x的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.根据实际问题，有时是整数点.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象.

    在本单元，除抓住“数形结合法”这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时.

二、学 海 导 航

思维基础

（一）1．二次函数的图象的开口方向是向      ，顶点从标是            ，对称轴是          。

2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于            .

3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a>0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是  

             .

    （二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（    ）

          图代13-3-1                                    图代13-3-2

      A.a+b+c<0         B.a+b+c=0        C.a+b+c>0        D.a+b+c的符号不定

    2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（    ）

      A.a<0，b<0，c>0，b²<4ac       B.a<0，b>0，c<0，b²<4ac

      C.a<0，b>0，c>0，b²>4ac       D.a>0，b<0，c<0，b²>4ac

3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（    ）

  A.或

  B.或

  C.或

  D.或

学法指要

例  在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.

（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；

（2）试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的

三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.

【思考】  （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交

点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？

【思路分析】  本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表

示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.

解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a<0, β>0，则a,β是方程

∴                            AOC∽△COB。

把A（-4，0）代入①，得

解这个方程得n=2.

∴所求的二次函数的解析式为

现在来解答第二问。

【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？

【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=

所求三角形若与△ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。

在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.

在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。

分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。

再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。

从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。

这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。

方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。

作法：取AO的中点D，过D作D D¢∥OC，

∴D¢是AC的中点。

∴          AD：AO=1：2，

即         △AD¢D=.

       △AD¢D∽△ACO∽△ABC.

图代13-3-3

∴DD¢是所求作的直线，AD¢D是所求作的三角形。

方案2：利用∠C作一个△BCF  △COB。

作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。

              图代13-3-4                                  图代13-3-5

方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。

方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。

          图代13-3-6                                      图代13-3-7

方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。

思维体操

例  一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时

相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.

图代13-3-8

如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：

解之，于是有

解方程组，得

；

.

∴所求抛物线解析式为

或.

∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.

∴所求抛物线解析式为

（0≤x≤10）.

【扩散2】  仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为

.

又其图象过A，C两点，则

解方程组，得

；

.

∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.

故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.

【扩散3】  抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.

于是设抛物线解析式为，

其图象又过A，C两点，则有

，∴.

又                   

                       ，

∴                     .                   ②

①②联立解方程组，得

；

.

但不合题意，舍去.

故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.

【扩散4】  由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.

设抛物线，则可得

解这个方程组，得

.

∵（m，3）在第一象限，∴m>0.

∴m=-20（舍去），∴m=4.

进而求得：                   

故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.

【扩散5】  如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.

（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；

（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.

【思路分析】

①本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛

物线解析式为：（0≤x≤10）.

②过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛

物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.

【扩散6】  有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现

把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？

图代13-3-9

【思路分析】  本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），

又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x₁=15或x₂=25，分别代入抛物线解析式，求得y₁=y₂=15.所以铁柱应取15m长.

【评析】  由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、

直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.

图代13-3-10

本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，

我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的.

三、智 能 显 示

心中有数

二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待

定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.

动手动脑

1.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采

用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？

2.已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若

△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.

3.已知抛物线.

（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.

（3）当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.

①当△ABP是直角三角形时，求b的值；

②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.

创新园地

例  如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数

的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为             .

提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.

图代13-3-11

《切线的性质》的引入

建议思考的问题：

如何处理好课本的知识点，才更利于学生掌握？

学生会选择正确的性质定理去证明一些简单的几何例题吗？

教学内容：

本节课选自九年义务教育三年制初级中学教科书（浙教版）第二册。

课堂实录：

背景：一年前，我在某市属普通中学教学公开周中听了一堂初三数学《切线的性质》的公开课，据事后了解，开课的班组属普通班，整体成绩一般，教师在教学的设计上与数学教务中教案一致。以学生为主体，采取一问一答得结论，背诵以后再应用模式，但一堂课听下来，总感到在切线的性质的引入的环节上还有一点不大到位。那么究竟存在着什么问题呢？下面我就结合课例来作一个分析。

课堂实录：

（一）   引入

[师]：前面两节课我们学习了直线与圆的三种位置关系。那么是哪三种位置关系呢？设o的半径为r，圆心o到直线l的距离d，那么这三种位置关系与d与的关系是什么？

[点评]：采用这种方法复习的目的是已达到，可是引入新课未免平淡，针对性也不强。

[生]：直线l与圆o相交 d<r；直线l与圆o相离 d>r；直线l与圆o相切 d=r

（学齐声回答，看来这个问题难度较低，不至于引人入胜。）

[师]：请同学们翻开书本，看图6-8，我提几个问题。如果AT切O于A，那么半径OA有什么关系？过点A的直线AT的垂线一定过圆心吗？过圆心引AT的垂线一定过切点A吗？从而引出课题（板书节）请同学分组讨论，并回答。

（学生中少有讨论，大多数同学感到茫然）

[师]：有谁来回答这个问题？大家比一比，赛一赛？（教师提出问题后没有学生回答）

[点评]：显然这几个问题与前面的问题比较起来难度有较大的提高。梯度过于明显。最后教师采取了点名的方法叫了三名成绩优异的学生回答出了垂直过圆心、过切点。新课的引入在这里，教师已陷入被动与学互动变成了个别优秀学生的秀场，何来比一比，赛一赛？如果没有学生的积极主动参与是不能取得好的效果的。

[师]：刚才这几位同学的回答非常正确，你们真棒！

[点评]：对学生的回答用赞赏语言，适时地进行激励，激发学生的学习兴趣。

[师]：1、大家抬头黑板，听听我的分析：由直线L和O相切可推半径OA与OA的长度有什么关系？因此它们在位置上有什么关系（由学生集体回答）

2、思考下列问题：过圆心垂直于切线的直线（OA）

                 过切点的半径

                 过切点与切线垂直的直线

这三者之间有什么关系？

[点评]：为什要听老师析呢：分析后学生是否就真正理解了呢？思考的这三个问问题都是老师事先设计好的，至于为什么要这样设计，有什么应用意义，在引入切线的三条性质的问题情境创设上是还有改变目前的这种“八股”模式？

课后分析与思考：《数学课程标准》强调：“参加特定数学活动，具体情境中初步认识对象的特征。获得一些经验”。“教师应激发学的学习积极性。向学生提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能等”。“学生是数学学习的主人，教师是数学学习组织者、引导者与合作者”教师应该意识到随着新一轮课和改革的推论，针对老教材，我们的教学方式也要随之改变。根据新课程的要求，这堂课的引入是否可以这样的。教师设计：

[复习作图题]：已知圆及圆上一点，怎样过该点作圆的切线。

已知一直线及直线上一点，作一半径等于定长的圆与该直线相切于该点。

[提出新问题]：1、已知O与直线L相切，怎样确定切点？

2、已知L1、L2分别与圆相切于点A、B，怎样确定圆心O的位置？

[学生小组讨论]：学生以固定的小组模式为单位，要求把各自作法先画在纸上，然后组织校对交流，最后汇总，推举代表发言。汇总后发现结果不谋而合，而两结论恰好是切线性质1、3。

[再次提出问题]：“圆的切线垂直于半径”这句话对吗？如果正确，说出理由。如果不正确，请将其改进。

[学生讨论]：归纳出切线性质2。

[师]：知识的呈现可采用不同的表达方式，作图、判断、讨论，以满足多样化的学习需求。

师自评：通过三个问题的解决得出了切线三个性质，给了学生三个初步经验。那么在后面三性质的应用的衔接可能会更自然些。更利于学生在一些具体的问题中判断是切点尚未确定，或是圆心尚未确定，还是垂直关系尚未确定然后选择合适的性质去确定它。

总之，新知识的引入是否贴合主题，是否吸引学生是学生进一步学习的重要前提。教师应注意把握开展探究教学。这是适合于需求，新理念指导下的教学方式，有待于在教学实践中学生不断探索、完善。

§2.4  基本不等式(二)  证明不等式

教学目标：

⒈ 通过师生互动，总结出利用基本不等式证明不等式的常用手段；

⒉ 通过一题多解培养学生解题的灵活性；

⒊ 通过辨析培养学生的批判性．

教学重点与难点：

不等式证明的方法．

教学过程：

一、复习基本不等式：

说明：① 基本不等式反映的是和积之间的不等式关系；

      ② 介绍算术平均数、几何平均数、平方平均数．

二、求证下列不等式：

(说明三者之间的关系)

四、课堂总结．

五、布置作业：《基础与发展》P65~66：基础性检测(B) ．

§3.2  函数关系的建立（一）

【教学目标】

  ⒈ 通过几个简单的实际问题建立两个变量间的函数关系，初步理解建立函数关系的步骤；

⒉ 通过师生合作，生生合作，突破将实际问题转化为数学问题的难点；

⒊ 体验数学知识与实际生活的关系，初步形成积极探究的态度、独立思考的习惯和团结协作的精神．

【教学重点】   建立实际问题中两个变量间的函数关系．

【教学难点】   将实际问题转化为数学形式的问题．

【教学过程】

高考数学专题―数学思想方法3

换元法及待定系数法

解数学问题时，通过一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的问题中仅含这些新变量的方法称之为换元法。用这种方法解题的目的是变量研究，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难为易，化繁为简的目的。

待定系数法的实质是方程的思想，把待定的未知数与已知数等同看待列式即得方程。

第一讲  换元法

例1、已知，求的最值。

分析：请看下面解法：

∵ ，

∴ 

得 的最大值为21，无最小值。

思考：上面解法是否正确？

正确解法：

解：由题意得：

故可设 ，

∵

∴当时，有最大值 ；

  当时，有最小值 ；

例2、已知，求的最值；

 解：可化为：

         即 

         设

         ∴

∵

∴当 时，有最大值25；

当 时，在最小值 ；

例3、已知，，，求的值。

[分析] 此题条件中，的含义是，

，显然，按此递推公式求出，计算量较大，仔细观察条件中，的形式与正切的倍角公式相近。由此可得解法。

解：设 ，

∵

∴

┄┄┄┄┄

例4、在曲线：上求一点，使它到直线的距离取最小值。

解： ∵

设  ， 

则 

又设

则点在曲线上，到直线的距离为

∵ ，∴

∴  ，

∴ 当时，有最小值2 ；

由及，得

∴ 当点坐标为 时， 到直线的距离最小，最小值为2 ；

例5、已知集合，，

求集合；

解：令，

  则可设，，

  ∴

，

关于的二次方程有实根的充要条件是

又∵

∴

∵

∴

解得；， ， ，

∴ 原方程为

∴

∴ 所求集合

练    习

1、已知，那么的值域是                     ；

2、设实数满足，则的取值范围是                          ；

3、设，求函数的最小值；

4、设，求证：，；

5、已知，且，求的最大值与最小值；

第二讲 待定系数法

例1、已知方程有一个根是解这个方程；

[分析] 根据实系数方程虚根成对原理，必有另一个根是，故方程等价于

 ，其中待定，求出后就可求同另二个根。

解： 设

   令得,   令得；

   ∴,解得：，

   ∴原方程的根为。

例2、已知一个共100项的等比数列的前项的和，

     若，求所有适合等式的值的和；

[分析] 中含有两个字母，直觉告诉我们，去确定之值，是解题中重要的环节。

解： ∵ 

又 是等比数列，

∴ ，又由知，

∴  ， ，

又 ， 

由得：

∴ ，

∴

∴ ，

∴

例3、曲线：的图象与曲线：的图象关于点对称，求的值；

解：设是上任意一点，是关于对称的上的点，

则有

 ，

∴ ，

即          ①

①与应为同一方程，

即

比较系数得。

例4、设为常数，，，且方程有等根，

求之值；

若，求使成立的值；

解：由得 , 即 ，

又  ，故  ，

因此  或

方程有等根   ，故 ；

 ∵  ，

又  ，

∴且 ，

因此，将与代入得。

练 习

1、已知无穷等比数列前项和为，则所有项和等于  

A、        B、    1       C、          D、  任意实数

2、满足< 500的的最大正整数是

A、  4         B、    5       C、   6        D、  7

3、在直角坐标系内有两点、，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则的值为

A、        B、          C、    1       D、   不能确定

4、如果恒等式成立，则           ；        ；

5、若方程的图象是两条直线，则                 ；

6、函数的最大值为，最小值为，则的周期是                                       ；

7、已知函数的最大值为7，最小值为，求此函数的解析式；

8、已知抛物线，对任意实数均过定点，  求实数之值；  求抛物线焦点到准线距离的最大值；

面积问题和面积方法

基础知识

1．面积公式

由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．

设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式：

（1）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

2．面积定理

（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；

（2）两个全等形的面积相等；

（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；

（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；

（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；

（7）共角比例定理：在△和△中，若或，则．

3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是：

．

例题分析

例1．梯形的对角线相交于，且，，求

例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积．

例3．是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积．

例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值．

例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示

△的面积．求证：．

例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：．

例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证：

（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；

（2）三角形的面积至少是三角形的四倍．

例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：．

例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等．

三．面积的等积变换

等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．

例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积．

例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：．

例12．在内，且∽，求征：

例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积．

例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分．

例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：．

例16．正△正△，，，，，

，．求证：．

例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点．

例18．已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值．

例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切．

训练题

1．设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积．

2．过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积．

3．在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的．

4．锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积．

5．在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：．

6．三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长．

7．已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．

8．点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：．

9．已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值．

10．过点P作四条射线与直线分别交于和，求证：

．

11．四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：．

12．为的重心，过作直线交于，求证：．

课题：正弦公式

课型：新知课

目标：

1．知识目标：（1）会证明两角和与差的正弦公式，并能记住正弦公式。

            （2）能够运用两角和与差的正弦公式。

2．隐性目标：（1）通过正弦公式的推导，进一步训练学生变形技巧；

            （2）培养学生认识事物之间的普遍联系的哲学观点；

重点：两角和与差的正弦公式及应用

难点：两角和与差的正弦公式推导用应用

教学过程：

一、先行组织者：

   1．回忆两角和与差的余弦公式，并求下列各式的值。

（1）cos (+)             (2)cos (-)

2．已知cos72°=0.3090，则sin18°=   ___________________ 。

       cos24°=0.9135，则 sin66°= _____________。

       sin3=0.1411，则cos (-3)=_____________。

 二、新知：

1．尝试练习：试求sin (+)的值

   2．两角和的正弦公式的推导：

      两角差的正弦公式推导：   

数学归纳法

基础知识

数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．

1．数学归纳法的基本形式

（1）第一数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

（2）第二数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

2．数学归纳法的其他形式

（1）跳跃数学归纳法

①当时，成立，

②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

（2）反向数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①对无限多个正整数成立；

②假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．

3．应用数学归纳法的技巧

（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．

（2）起点增多：有些命题在由向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．

（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．

（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．

5．归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．

例题分析

例1．用数学归纳法证明：

（）

例2．已知对任意，，且，求证：．

例3．如果正整数不是6的倍数，则不是7的倍数．

例4．设都是正数，证明．

例5．已知函数的定义域为，对于区间内的任意两数均有．求证：对于任意，均有

．

例6试证：对一切大于等于1的自然数都有

．

例7试证：对一切自然数（）都有．

例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．

例9．设，，，求证：对一切均有

例10．已知，，求证：对一切，都是整数．

例11．设，是否存在关于正整数的函数使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．

例12．设整数数列满足，，，且．证明：任意正整数，是一个整数的平方．

例13．设为正数（），证明：．

例14．已知，（），求证：．

例15．整数列（）满足，且有．求证：时，是奇数．

训练题

1．证明时，能被31整除．

2．设不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成个较小的正三角形．

3．用数学归纳法证明：

4．设为自然数，求证：．

5．对于自然数（），求证：．

6．已知，，求证：对于一切，是整数．

7．设有个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数不小于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆．

8．已知数列满足：，，（），试证：．