《2026年教材完全解读高中物理必修第二册粤教版》

7.（2024·通辽一模·能力点）如图所示，倾角为$\theta$的斜面光滑，自斜面上某处与斜面夹角为$\alpha$的方向向斜面上抛出一质点，速度大小为$v$（设质点与斜面间的碰撞是完全弹性的，即入射方向与反射方向遵循光的反射定律），斜面足够长。

(1) 求质点在回到出发点之前离斜面的最远距离；
(2) 要使质点最后仍能回到原出发点，问：$\alpha$角应满足什么条件？

答案：
7.
(1)质点的运动轨迹如图所示。在垂直斜面方向上，质点具有不变的加速度$a_{y} = g\cos\theta$，由于碰撞前后的速率不变，故质点落在斜面和离开斜面的速率相等，均为$v_{0} = v\sin\alpha$，所以，质点在回到出发点之前离斜面的最远距离为$h_{m} = \frac{v_{0}^{2}}{2a_{y}} = \frac{v^{2}\sin^{2}\alpha}{2g\cos\theta}$

(2)质点每两次碰撞之间所用的时间不变，均为$t = \frac{2v_{0}}{a_{y}} = \frac{2v\sin\alpha}{g\cos\theta}$质点在沿平行斜面方向的加速度为$a_{x} = g\sin\theta$，当质点沿平行斜面方向的位移为零时，质点最后仍回到原出发点，设质点运动时间为$T$，则$v_{x0}T - \frac{1}{2}a_{x}T^{2} = 0$，其中$v_{x0} = v\cos\alpha$，$T = nt(n = 1,2,3,·s)$，联立解得$\tan\alpha·\tan\theta = \frac{1}{n}(n = 1,2,3,·s)$，即$\tan\alpha = \frac{1}{n\tan\theta}(n = 1,2,3,·s)$。

8.（2024·周口期中·知识点2）两探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧为倾角$30°$的斜坡，山沟两侧在底部相交于$Q$点。一队员从山沟的竖直一侧$O$点，以某一初速度沿水平方向抛出一个小球，小球落在斜面上$P$点，如图所示。已知$O$点距离斜坡底部高度为$h$，$P$点到斜坡底部竖直距离为$\frac{h}{2}$。忽略空气阻力，重力加速度为$g$。

(1) 求队员自$O$点抛出小球的初速度大小；
(2) 若另一队员在山沟底部$Q$点，以某一速度$v_1$竖直上抛一小球$A$，同时$O$点的队员将一小球$B$自由释放，两球沿同一竖直线运动，若$A$球在上升过程中与$B$球相遇，求抛出小球$A$的速度$v_1$的取值范围（两队员身高均可忽略）；
(3) 若另一队员在斜坡上$P$点，以某一速度$v_2$抛出小球，小球可以到达$O$点（掷出点可认为紧贴$P$点），求抛出小球的最小速度。

答案： 8.
(1)小球落在$P$点，由几何关系，竖直位移为$y = \frac{h}{2}$，水平位移$x = \frac{\sqrt{3}}{2}h$，由平抛运动规律有$x = v_{0}t$，$y = \frac{1}{2}gt^{2}$，解得$v_{0} = \frac{\sqrt{3gh}}{2}$
(2)两球相遇时设$B$球下落高度$h_{1}$，所用时间为$t_{1}$，有$h_{1} = \frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，此时设$A$球竖直上升高度$h_{2} = v_{1}t_{1} - \frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，因$h = h_{1} + h_{2}$，解得$t_{1} = \frac{h}{v_{1}}$，由于$A$球上升到最大高度的时间$t' = \frac{v_{1}}{g}$，当$\frac{v_{1}}{g} \geqslant t_{1}$时，$A$球在上升过程中可与$B$球相遇，解得$v_{1} \geqslant \sqrt{gh}$。
(3)抛出时小球的速度为$v_{2}$，设方向与水平方向夹角为$\alpha$，则速度在水平方向分量$v_{x} = v_{2}\cos\alpha$，速度在竖直方向分量$v_{y} = v_{2}\sin\alpha$，水平方向位移$\frac{\sqrt{3}}{2}h = v_{2}\cos\alpha· t_{2}$，小球在空中飞行时间$t_{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}h}{v_{2}\cos\alpha}$，竖直方向位移$\frac{h}{2} = v_{2}\sin\alpha· t_{2} - \frac{1}{2}gt_{2}^{2}$，代入飞行时间得$4v_{2}^{2} = \frac{3gh}{\cos30^{\circ}\sin2\alpha - \sin30^{\circ}\cos2\alpha - \frac{1}{2}}$，进一步整理得$v_{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3gh}{\sin(2\alpha - 30^{\circ}) - \frac{1}{2}}}$，当$2\alpha - 30^{\circ} = 90^{\circ}$时$v_{2}$最小，因为$\alpha ＜ 90^{\circ}$，所以当$\alpha = 60^{\circ}$时有抛出的最小速度，此时$v_{2} = \frac{1}{2}\sqrt{6gh}$。