《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=3^{n}$，则数列$\{ a_{n}\}$是(A)

A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列

答案： 1. A $a_{n + 1}-a_{n}=3^{n + 1}-3^{n}=2×3^{n}＞0$，$\therefore a_{n + 1}＞a_{n}$，即$\{ a_{n}\}$是递增数列.

2. 已知数列$1,\sqrt {3},\sqrt {5},\sqrt {7},...,\sqrt {2n - 1}$，若$3\sqrt {5}$是这个数列的第$n$项，则$n=$(D)

A.20
B.21
C.22
D.23

答案： 2. D 由题意得，$\sqrt{2n - 1}=3\sqrt{5}$，即$2n - 1 = 45$，解得$n = 23$，故选D.

3. 数列$3,5,9,17,33,...$的通项公式可能是(B)

A.$a_{n}=2n + 1$
B.$a_{n}=2^{n}+1$
C.$a_{n}=2n - 1$
D.$a_{n}=2^{n}-1$

答案： 3. B 由数列$3,5,9,17,33,·s$，所以$a_{1}=2^{1}+1 = 3$，排除C、D选项，通过验证，$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$都满足B项中数列的通项公式.

4. 数列$\frac {2}{3},-\frac {4}{5},\frac {6}{7},-\frac {8}{9},...$的第10项是(C)

A.$-\frac {16}{17}$
B.$-\frac {18}{19}$
C.$-\frac {20}{21}$
D.$-\frac {22}{23}$

答案： 4. C 由数列$\frac{2}{3},-\frac{4}{5},\frac{6}{7},-\frac{8}{9},·s$，可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数$2n$（$n$为项数），分母比分子大1，故可得到通项公式$a_{n}=(-1)^{n + 1}·\frac{2n}{2n + 1}$，所以$a_{10}=(-1)^{11}×\frac{20}{21}=-\frac{20}{21}$.

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n}· 2^{n}+a$，且$a_{3}=-5$，则实数$a=$(A)

A.3
B.1
C.$-1$
D.0

答案： 5. A 因为$a_{3}=-5$，$a_{n}=(-1)^{n}·2^{n}+a$，所以$-8 + a=-5$，解得$a = 3$，故选A.

6. (多选)已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-8n + 15$，则(BC)

A.3不是数列$\{ a_{n}\}$中的项
B.3可能是数列$\{ a_{n}\}$的第2项
C.3可能是数列$\{ a_{n}\}$的第6项
D.$a_{3}＜0$

答案： 6. BC 令$n^{2}-8n + 15 = 3$，解此方程可得$n = 2$或$n = 6$，所以3可能是该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，$a_{3}=9 - 24 + 15 = 0$.

7. 数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}3n + 1,n为奇数,\\2n - 2,n为偶数\end{cases}$则$a_{2}a_{3}=$ ______ .

答案： 7. 20 由通项公式得$a_{2}=2×2 - 2 = 2$，$a_{3}=3×3 + 1 = 10$，所以$a_{2}a_{3}=20$.

8. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2024 - 3n$，则使$a_{n}＞0$成立的正整数$n$的最大值为674.

答案： 8. 674 由$a_{n}=2024 - 3n＞0$，得$n＜\frac{2024}{3}$，又因为$n\in\mathbf{N}^{*}$，所以正整数$n$的最大值为674.

9. 数列$-\frac {1}{3},\frac {1}{9},-\frac {1}{27},\frac {1}{81},...$的一个通项公式是$a_{n}=$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}$.

答案： 9. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}$ $-\frac{1}{3}=(-1)^{1}×\frac{1}{3^{1}}$，$\frac{1}{9}=(-1)^{2}×\frac{1}{3^{2}}$，$-\frac{1}{27}=(-1)^{3}×\frac{1}{3^{3}}$，$\frac{1}{81}=(-1)^{4}×\frac{1}{3^{4}}$，所以其一个通项公式是$a_{n}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}$.

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=-n^{2}+n + 110$.
(1)20是不是$\{ a_{n}\}$中的一项？
(2)当$n$取何值时，$a_{n}=0$？

答案： 10.【解析】（1）令$a_{n}=-n^{2}+n + 110 = 20$，即$n^{2}-n - 90 = 0$，$\therefore (n + 9)(n - 10)=0$，$\therefore n = 10$或$n = -9$（舍去）. $\therefore 20$是数列$\{ a_{n}\}$中的一项，且为数列$\{ a_{n}\}$中的第10项. （2）令$a_{n}=-n^{2}+n + 110 = 0$，即$n^{2}-n - 110 = 0$，$\therefore (n - 11)(n + 10)=0$，$\therefore n = 11$或$n = -10$（舍去），$\therefore$当$n = 11$时，$a_{n}=0$.