《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{3}=\frac {1}{9}$，则$a_{5}=$(C)

A.$\pm \frac {1}{81}$
B.$-\frac {1}{81}$
C.$\frac {1}{81}$
D.$\pm \frac {1}{2}$

答案： 1. C 根据等比数列的性质可知$a_{1}a_{5}=a_{3}^{2}\Rightarrow a_{5}=\frac{a_{3}^{2}}{a_{1}}=\frac{1}{81}$。

2. 若数列$\{ a_{n}\}$是公比为$q$的递增等比数列，则(B)

A.$a_{1}＞0$，$q＞1$
B.$a_{1}(q - 1)＞0$
C.$(a_{1}-1)q＞0$
D.$(a_{1}-1)q＜0$

答案： 2. B 依题意，不妨设$a_{1}=1,q = 2$，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误。设$a_{1}=-1,q=\frac{1}{2}$，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确。故正确的选项为B。

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=\frac {1}{4}a_{n}$，若$a_{4}+a_{5}=2$，则$a_{3}+a_{4}=$(D)

A.$\frac {1}{2}$
B.1
C.4
D.8

答案： 3. D 由已知，$a_{n + 1}=\frac{1}{4}a_{n}$，则$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{1}{4}$，所以数列$\{a_{n}\}$是以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，则$a_{4}+a_{5}=q·(a_{3}+a_{4})=\frac{1}{4}(a_{3}+a_{4}) = 2$，所以$a_{3}+a_{4}=8$。

4. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}a_{4}a_{6}a_{7}=81$，则$a_{1}a_{9}=$(A)

A.9
B.$-9$
C.$\pm 9$
D.18

答案： 4. A 因为$\{a_{n}\}$为等比数列，所以$a_{3}a_{7}=a_{4}a_{6}=a_{1}a_{9}$。所以$(a_{1}a_{9})^{2}=81$，即$a_{1}a_{9}=\pm9$。因为在等比数列$\{a_{n}\}$中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以$a_{1},a_{9}$同号，所以$a_{1}a_{9}=9$。

5. 数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=ta_{n}+t(n\in N^{*},t\neq 0)$，则“$t=\frac {1}{2}$”是“数列$\{ a_{n}\}$是等比数列”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5. C 当$t=\frac{1}{2}$时，由$a_{1}=1$得$a_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，$a_{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,·s,a_{n}=1$，所以$\{a_{n}\}$是等比数列，充分性成立；反之若$\{a_{n}\}$是等比数列，则$a_{2}=ta_{1}+t = 2t$，$a_{3}=ta_{2}+t = 2t^{2}+t$，又因为$a_{1},a_{2},a_{3}$也成等比数列，所以$a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}$，即$4t^{2}=2t^{2}+t$，又$t\neq0$，所以$t=\frac{1}{2}$，此时$a_{n}=1(n\in\mathbf{N}^{*})$，满足题意，必要性也成立。所以“$t=\frac{1}{2}$”是“数列$\{a_{n}\}$是等比数列”的充要条件。故选C。

6. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(D)

A.2
B.$\frac {67}{66}$
C.3
D.$\sqrt {3}$

答案： 6. D 方法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列$\{a_{n}\}$，设其公比为$q(q\neq0)$，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知$\begin{cases}a_{1}· a_{1}q· a_{1}q^{2}=3,\\a_{1}q^{6}· a_{1}q^{7}· a_{1}q^{8}=9,\end{cases}$解得$a_{1}q=\sqrt[3]{3},q^{3}=\sqrt[6]{3}$，所以第5节的容积为$a_{1}q^{4}=a_{1}q· q^{3}=\sqrt[3]{3}·\sqrt[6]{3}=\sqrt{3}$。故选D。
方法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列$\{a_{n}\}$，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知$a_{1}a_{2}a_{3}=3$，$a_{7}a_{8}a_{9}=9$，由等比数列的性质可知$a_{1}a_{2}a_{3}a_{7}a_{8}a_{9}=(a_{1}a_{9})·(a_{2}a_{8})·(a_{3}a_{7})=a_{5}^{6}=27$。所以$a_{5}=\sqrt{3}$。故选D。

7. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，存在正整数$m$，有$a_{m}=3$，$a_{m + 5}=24$，则$a_{m + 15}=$1 536.

答案： 7. 1 536 由题意知$q^{5}=\frac{a_{m + 5}}{a_{m}}=8$，$a_{m + 15}=a_{m}· q^{15}=3×8^{3}=1536$。

8. 已知项数相同的等比数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$，公比分别为$q_{1}$，$q_{2}(q_{1},q_{2}\neq 1)$，则数列①$\{ 3a_{n}\}$，②$\{ 3^{a_{n}}\}$，③$\{ 2a_{n}-3b_{n}\}$，④$\{ 2a_{n}· 3b_{n}\}$中是等比数列的是①④(填序号).

答案： 8. ①④ 在①中，$\frac{3a_{n + 1}}{3a_{n}}=q_{1}$，是等比数列；在②中，令$a_{n}=2^{n - 1}$，则数列$\{3^{a_{n}}\}$为$3,3^{2},3^{4},·s$，而$\frac{3^{2}}{3}\neq\frac{3^{4}}{3^{2}}$，故不是等比数列；在③中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中，$\frac{2a_{n + 1}·3b_{n + 1}}{2a_{n}·3b_{n}}=q_{1}q_{2}$，是等比数列。

9. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}=\frac {15}{8}$，$a_{8}a_{9}=-\frac {9}{8}$，则$\frac {1}{a_{7}}+\frac {1}{a_{8}}+\frac {1}{a_{9}}+\frac {1}{a_{10}}=$-\frac{5}{3}.

答案： 9. $-\frac{5}{3}$ $\because\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{10}}=\frac{a_{7}+a_{10}}{a_{7}a_{10}}$，$\frac{1}{a_{8}}+\frac{1}{a_{9}}=\frac{a_{8}+a_{9}}{a_{8}a_{9}}$，又$a_{8}a_{9}=a_{7}a_{10}$，$\therefore\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{8}}+\frac{1}{a_{9}}+\frac{1}{a_{10}}=\frac{a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}}{a_{8}a_{9}}=\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{9}{8}}=-\frac{5}{3}$。

10. 已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和.

答案： 10.【解析】 依题意，设原来的三个数依次为$\frac{a}{q},a,aq$。因为$\frac{a}{q}· a· aq = 512$，所以$a = 8$。又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以$\left(\frac{a}{q}-2\right)+(aq - 2)=2a$，所以$2q^{2}-5q + 2 = 0$，所以$q = 2$或$q=\frac{1}{2}$，所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4。因为$4 + 8 + 16 = 16 + 8 + 4 = 28$，所以原来的三个数的和等于28。

11. 我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第10年每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年).(参考数据$\lg 1.2\approx 0.08$，$\lg 5\approx 0.70$)

答案： 11. 10 由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且$a_{1}=50,q = 1.2$，所以$a_{n}=50×(1.2)^{n - 1}$，令$a_{n}=50×(1.2)^{n - 1}=250$，所以$(1.2)^{n - 1}=5$，所以$n - 1=\log_{1.2}5=\frac{\lg5}{\lg1.2}\approx\frac{0.70}{0.08}=8.75$，又因为$n$为正整数，所以$n = 10$。

12. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1}＞0$，则“$a_{2}＞a_{3}$”是“$a_{3}＞a_{6}$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 12. A $\because a_{2}＞a_{3}$，$\therefore a_{1}q＞a_{1}q^{2}$，又$a_{1}＞0$，$\therefore q＞q^{2}$，解得$0＜q＜1$，$\therefore$等比数列$\{a_{n}\}$是递减数列，$\therefore a_{3}＞a_{6}$，$\therefore$充分性成立。反之，由$a_{3}＞a_{6}$，得$a_{1}q^{2}＞a_{1}q^{5}$，又$a_{1}＞0$，$\therefore1＞q^{3}$，$\therefore q＜1$且$q\neq0$，$\therefore$等比数列$\{a_{n}\}$是递减数列或摆动数列，不一定得出$a_{2}＞a_{3}$，$\therefore$必要性不成立。$\therefore$“$a_{2}＞a_{3}$”是“$a_{3}＞a_{6}$”的充分不必要条件，故选A。