《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{n + 1} = 2a_{n}$，且$a_{1} = 1$，则数列$\{ a_{n}\}$的前5项的和等于(D)

A.$-25$
B.$25$
C.$-31$
D.$31$

答案： 1. D 因为$a_{n + 1}=2a_{n}$，且$a_{1}=1$，所以数列$\{ a_{n}\}$是首项为$1$，公比为$2$的等比数列，所以数列$\{ a_{n}\}$的前$5$项的和为$\frac{2^{5}-1}{2 - 1}=31$。

2. (多选)(2025·全国Ⅱ卷)设$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$q$为$\{ a_{n}\}$的公比，$q ＞ 0$。若$S_{3} = 7$，$a_{3} = 1$，则(AD)

A.$q = \frac{1}{2}$
B.$a_{5} = \frac{1}{9}$
C.$S_{5} = 8$
D.$a_{n} + S_{n} = 8$

答案： 2. AD 根据已知可得方程$\frac{S_{3}-a_{3}}{a_{3}}=\frac{7 - 1}{1}$，整理得$6q^{2}-q - 1 = 0$，解得$q = -\frac{1}{3}$（舍去），$q=\frac{1}{2}$。又$a_{3}=1$，故$a_{1}=4$。因此，等比数列$\{ a_{n}\}$的通项$a_{n}=2^{3 - n}$，$S_{n}=\frac{4×(1 - 2^{-n})}{1 - 2^{-1}} = 8 - 2^{3 - n}$。由此可知$A$、$D$两个选项是正确的。因为$a_{5}=2^{3 - 5}=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{9}$，所以$B$选项不正确。因为$S_{5}=8 - 2^{3 - 5}=\frac{31}{4}\neq8$，所以$C$选项不正确。综上，正确结论是$AD$。

3. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，下表给出了$S_{n}$的部分数据：

则数列$\{ a_{n}\}$的第4项$a_{4} =$(B)

A.$\frac{81}{16}$
B.$\frac{27}{8}$
C.$-\frac{81}{16}$或$\frac{81}{16}$
D.$-\frac{27}{8}$或$\frac{27}{8}$

答案： 3. B 由题意得，在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$\begin{cases}S_{1}=a_{1}=-1,\\a_{5}=a_{1}q^{4}=S_{5}-S_{4}=-\frac{55}{16}-\frac{13}{8},\\q\lt0,\end{cases}\therefore a_{5}=-q^{4}=-\frac{81}{16}$，解得$q = -\frac{3}{2}$，$\therefore a_{4}=-\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{27}{8}$。

4. 设$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$27a_{4} + a_{7} = 0$，则$\frac{S_{4}}{S_{2}} =$(A)

A.$10$
B.$9$
C.$-8$
D.$-5$

答案： 4. A 设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，由$27a_{4}+a_{7}=0$，得$a_{4}(27 + q^{3}) = 0$，因为$a_{4}\neq0$，所以$27 + q^{3}=0$，则$q = - 3$，$\frac{S_{4}}{S_{2}}=\frac{1 - q^{4}}{1 - q^{2}} = 10$。

5. (多选)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公比为$q$，若$a_{1} \neq a_{2}$，$a_{3}a_{4} = 2a_{1}$，$a_{3} - a_{2} = 2(a_{4} - a_{3})$，则下列结论正确的是(AD)

A.$q = \frac{1}{2}$
B.$a_{7} = 2$
C.$a_{8} = 8$
D.$S_{6} = 126$

答案： 5. AD 因为等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}\neq a_{2}$，所以$q\neq1$，因为$a_{3}· a_{4}=2a_{1}$，$a_{3}-a_{2}=2(a_{4}-a_{3}) = 2q(a_{3}-a_{2})$，所以$a_{1}^{2}q^{5}=2a_{1}$，且$2q = 1$，即$q=\frac{1}{2}$，$A$正确；所以$a_{1}=64$，$a_{7}=64×\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=1$，$B$错误；$a_{8}=a_{1}q^{7}=64×\left(\frac{1}{2}\right)^{7}=\frac{1}{2}$，$C$错误；$S_{6}=\frac{64×\left(1 - \frac{1}{2^{6}}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 126$，$D$正确。故选$AD$。

6. (多选)设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$8a_{2} + a_{5} = 0$，则下列式子中数值确定的是(ABC)

A.$\frac{a_{n + 1}}{a_{n - 1}}$
B.$\frac{S_{5}}{S_{3}}$
C.$\frac{S_{5}}{a_{3}}$
D.$\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}$

答案： 6. ABC 由$8a_{2}+a_{5}=0$得$8a_{2}+a_{2}q^{3}=0$，$\because a_{2}\neq0$，$\therefore q^{3}=-8$，$\therefore q = - 2$。$A$中，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n - 1}}=q^{2}=4$；$B$中，$\frac{S_{5}}{S_{3}}=\frac{\frac{a_{1}(1 - q^{5})}{1 - q}}{\frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}}=\frac{1 - q^{5}}{1 - q^{3}}=\frac{11}{3}$；$C$中，$\frac{S_{5}}{a_{3}}=\frac{\frac{a_{1}(1 - q^{5})}{1 - q}}{a_{1}q^{2}}=\frac{1 - q^{5}}{q^{2}(1 - q)}=\frac{11}{4}$；$D$中，$\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}=\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q^{n}}$与$n$有关，不确定。故选$ABC$。

7. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}(n \in \mathbf{N}^{*})$，若$a_{2} = 2$，$a_{3} = 4$，则$a_{1} =$1，$S_{4} =$15。

答案： 7. 1 15 因为$a_{2}=2$，$a_{3}=4$，所以$\begin{cases}a_{2}=a_{1}q = 2,\\a_{3}=a_{1}q^{2}=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q = 2,\end{cases}$所以$S_{4}=\frac{1 - 2^{4}}{1 - 2}=15$。

8. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = \frac{1}{3}(a_{n} - 1)$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n} =$$\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$。

答案： 8. $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 由题知$S_{1}=a_{1}=\frac{1}{3}(a_{1}-1)$，$\therefore a_{1}=-\frac{1}{2}$。$\because S_{n}=\frac{1}{3}(a_{n}-1)$，$\therefore S_{n + 1}=\frac{1}{3}(a_{n + 1}-1)$，$\therefore S_{n + 1}-S_{n}=\frac{1}{3}a_{n + 1}-\frac{1}{3}a_{n}$，即$a_{n + 1}=\frac{1}{3}a_{n + 1}-\frac{1}{3}a_{n}$，$\therefore a_{n + 1}=-\frac{1}{2}a_{n}$，$\therefore$数列$\{ a_{n}\}$是以$-\frac{1}{2}$为首项，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，$\therefore \{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$。

9. 一个等比数列的前$n$项和$S_{n} = (1 - 2\lambda) +$1$\lambda · 2^{n}$，则$\lambda =$ 。

答案： 9. 1 设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，当$q = 1$时，$a_{1}=S_{1}=(1 - 2\lambda)+2\lambda = 1$，则$S_{n}=n$，显然与题设不符，$\therefore q\neq1$，即等比数列不是常数列，$\therefore S_{n}=\frac{a_{1}}{1 - q}-\frac{a_{1}q^{n}}{1 - q}=(1 - 2\lambda)+\lambda·2^{n}$，则$\begin{cases}\frac{a_{1}}{1 - q}=1 - 2\lambda = -\lambda,\\q = 2,\end{cases}$可得$\lambda = 1$。

10. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1$，$a_{5} = 4a_{3}$。
(1) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 记$S_{n}$为$\{ a_{n}\}$的前$n$项和。若$S_{m} = 63$，求$m$。

答案： 10.【解析】
(1)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，由题意得$a_{n}=q^{n - 1}$，$q^{4}=4q^{2}$，解得$q = 0$（舍去），$q = - 2$或$q = 2$。故$a_{n}=(-2)^{n - 1}$或$a_{n}=2^{n - 1}$。
(2)若$a_{n}=(-2)^{n - 1}$，则$S_{n}=\frac{1 - (-2)^{n}}{3}$。由$S_{m}=63$得$\frac{1 - (-2)^{m}}{3}=63$，即$(-2)^{m}=-188$，此方程没有正整数解。若$a_{n}=2^{n - 1}$，则$S_{n}=2^{n}-1$。由$S_{m}=63$得$2^{m}-1 = 63$，即$2^{m}=64$，解得$m = 6$。综上，$m = 6$。