《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$\frac {a_{5}}{a_{3}}=\frac {5}{9}$，则$\frac {S_{9}}{S_{5}}=$(A)

A.1
B.-1
C.2
D.$\frac {1}{2}$

答案： 1. A $\frac{S_{9}}{S_{5}}=\frac{9(a_{1}+a_{9})}{5(a_{1}+a_{5})}=\frac{9a_{5}}{5a_{3}}=\frac{9}{5}×\frac{5}{9}=1$.

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$是其前$n$项和，且$S_{2024}=S_{2025}$，$S_{k}=S_{2023}$，则正整数$k$为(D)

A.2 022
B.2 024
C.2 025
D.2 026

答案： 2. D 因为等差数列的前$ n $项和$ S_{n} $是关于$ n $的二次函数，所以由二次函数的对称性及$ S_{2024}=S_{2025},S_{k}=S_{2023} $，可得$ \frac{2024 + 2025}{2}=\frac{k + 2023}{2} $，解得$ k = 2026 $.

3. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(B)

A.4 000元
B.4 500元
C.4 800元
D.5 000元

答案： 3. B 由已知可知等差数列中$ S_{10}=2000,S_{20}=3500 $，因为$ S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20} $成等差数列，所以$ 2(S_{20}-S_{10})=S_{10}+(S_{30}-S_{20}) $，所以$ 2×(3500 - 2000)=2000+(S_{30}-3500) $，解得$ S_{30}=4500 $.

4. (多选)在等差数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1}＞0$，公差$d≠0$，前$n$项和为$S_{n}$，则下列命题正确的是(ABC)

A.若$S_{3}=S_{11}$，则必有$S_{14}=0$
B.若$S_{3}=S_{11}$，则$S_{7}$是$\{ S_{n}\}$中的最大项
C.若$S_{7}＞S_{8}$，则必有$S_{8}＞S_{9}$
D.若$S_{7}＞S_{8}$，则必有$S_{6}＞S_{8}$

答案： 4. ABC 根据等差数列的性质，若$ S_{3}=S_{11} $，则$ S_{11}-S_{3}=4(a_{7}+a_{8})=0 $，则$ a_{7}+a_{8}=0 $，$ S_{14}=\frac{14(a_{1}+a_{14})}{2}=7(a_{7}+a_{8})=0 $；根据$ S_{n} $的图象，当$ S_{3}=S_{11} $时，对称轴是$ \frac{3 + 11}{2}=7 $，且$ d\lt0 $，那么$ S_{7} $是最大值；若$ S_{7}\gt S_{8} $，则$ a_{8}\lt0 $，且$ d\lt0 $，所以$ a_{9}\lt0 $，所以$ S_{9}-S_{8}\lt0 $，即$ S_{8}\gt S_{9} $；$ S_{8}-S_{6}=a_{8}+a_{7}=2a_{8}-d $，符号不确定，所以ABC正确.

5. 若等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，首项$a_{1}＞0$，$a_{2024}+a_{2025}＞0$，$a_{2024}· a_{2025}＜0$，则满足$S_{n}＞0$成立的最大正整数$n$的值是(C)

A.4 046
B.4 047
C.4 048
D.4 049

答案： 5. C 由条件知$ d\lt0 $，且$ a_{2024}\gt0,a_{2025}\lt0 $，$ S_{4047}=4047a_{2024}\gt0 $，$ S_{4048}=2024(a_{1}+a_{4048})=2024(a_{2024}+a_{2025})\gt0 $，$ S_{4049}=4049a_{2025}\lt0 $，故$ S_{n}\gt0 $的最大$ n $值为4048.

6. 等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}＞0$，$S_{25}=0$，则使$S_{n}$取得最大值时的$n$的值为12或13.

答案： 6. 12或13 $ S_{25}=\frac{25(a_{1}+a_{25})}{2}=25a_{13}=0 $，即$ a_{13}=0 $，又$ a_{1}\gt0 $，$ \therefore d\lt0 $，$ S_{12}=S_{13} $最大.

7. 在项数为$2n - 1$的等差数列中，所有奇数项的和为225，所有偶数项的和为210，则$n$的值为15.

答案： 7. 15 $ \because $等差数列有$ (2n - 1) $项，$ S_{奇}-S_{偶}=a_{n} $，$ \therefore a_{n}=15 $. 又$ S_{2n - 1}=(2n - 1)a_{n} $，$ \therefore 225 + 210=(2n - 1)×15 $，$ \therefore n = 15 $.

8. 已知$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{1}=-2$，$\frac {S_{2025}}{2025}-\frac {S_{2023}}{2023}=2$，则$\frac {S_{2025}}{2025}=$2022.

答案： 8. 2022 $ \because S_{n} $是等差数列$ \{a_{n}\} $的前$ n $项和，$ \therefore \left\{ \frac{S_{n}}{n} \right\} $是等差数列，设其公差为$ d $. $ \because \frac{S_{2025}}{2025}-\frac{S_{2023}}{2023}=2 $，$ \therefore 2d = 2 $，$ d = 1 $，$ \because a_{1}=-2 $，$ \therefore \frac{S_{1}}{1}=-2 $，$ \therefore \frac{S_{n}}{n}=-2+(n - 1)×1=n - 3 $，$ \therefore \frac{S_{2025}}{2025}=2025 - 3 = 2022 $.

9. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？

答案： 9. 【解析】 从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列，设为$ \{a_{n}\} $，则$ a_{1}=100,d = 10,n = 13 $，所以共获奖品价值$ S_{13}=13×100+\frac{13×12}{2}×10 = 2080 $（元）. 因为$ 2080\gt2000 $，所以第二种领奖方式获奖者受益更多.

10. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{10}=18$，前5项的和$S_{5}=-15$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和的最小值，并指出何时取最小值.

答案： 10. 【解析】
(1)设等差数列的公差为$ d $，因为在等差数列$ \{a_{n}\} $中，$ a_{10}=18,S_{5}=-15 $，所以$ \begin{cases}a_{1}+9d = 18,\\5a_{1}+\frac{5}{2}×4× d=-15,\end{cases} $ 解得$ \begin{cases}a_{1}=-9,\\d = 3,\end{cases} $ 所以$ a_{n}=3n - 12,n\in\mathbf{N}^{*} $.
(2)因为$ a_{1}=-9,d = 3,a_{n}=3n - 12 $，所以$ S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{1}{2}(3n^{2}-21n)=\frac{3}{2}\left(n - \frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{147}{8} $，所以当$ n = 3 $或4时，数列$ \{a_{n}\} $的前$ n $项和$ S_{n} $取得最小值$ S_{3}=S_{4}=-18 $.