《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第二册人教版》

11. 已知不等式$x^{2} - 5x - 6 \lt 0$的解集中有三个整数解，构成等比数列$\{ a_{n}\}$的前三项，则数列$\{ a_{n}\}$的第四项是(D)

A.8
B.$\frac{1}{2}$
C.8或2
D.8或$\frac{1}{2}$

答案： 11. D 不等式$x^{2}-5x - 6\lt0$的解集为$\{ x|-1\lt x\lt6\}$，其中成
等比数列的三个整数为$1,2,4$，若数列前$3$项为$1,2,4$，则第
$4$项为$8$，若数列前$3$项为$4,2,1$，则第$4$项为$\frac{1}{2}$.

12. 若正项数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 2$，$a_{n + 1}^{2} - 3a_{n + 1}a_{n} - 4a_{n}^{2} = 0$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n} =$(A)

A.$2^{2n - 1}$
B.$2^{n}$
C.$2^{2n + 1}$
D.$2^{2n - 3}$

答案： 12. A 由$a_{n + 1}^{2}-3a_{n + 1}a_{n}-4a_{n}^{2}=0$，得$(a_{n + 1}-4a_{n})·(a_{n + 1}+a_{n})=0$.又$\{ a_{n}\}$是正项数列，所以$a_{n + 1}-4a_{n}=0,\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=4$.由等
比数列的定义知数列$\{ a_{n}\}$是以$2$为首项，$4$为公比的等比数
列.由等比数列的通项公式，得$a_{n}=2×4^{n - 1}=2^{2n - 1}$.

13. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比$q =$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

答案： 13. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 由题意得$a_{n}=a_{n + 1}+a_{n + 2}$，所以$1 = q + q^{2}$，即$q^{2}+q - 1 = 0$，解得$q=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$或$q=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$（舍去）.

14. 在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，若$a$，$b$，$c$成等比数列，且$a^{2} - c^{2} = ac - bc$，求角$A$的大小及$\frac{b\sin B}{c}$的值。

答案： 14.【解析】$\because a,b,c$成等比数列，$\therefore b^{2}=ac$，
又$a^{2}-c^{2}=ac - bc,\therefore a^{2}-c^{2}=b^{2}-bc$，即$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$，
在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
$\therefore A = 60^{\circ}$.
在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$，
$\therefore \frac{b\sin B}{c}=\frac{b^{2}\sin A}{ac}=\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.