《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5. 求 sinA，cosA 和 tanA 的值.

答案：

1. 解：
∵在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 12$，$BC = 5$，

∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$，

∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$。

2. 如图，在△ABC 中，sinA = $\frac {3} {5}$，tanB = $\frac {1} {3}$，BC = $3\sqrt {10}$，求 AC 的长.

答案：
解：如答图，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$。

∵$\tan B=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CD}{DB}=\frac{1}{3}$，设 $CD = x$，则 $DB = 3x$。

∵$BC = 3\sqrt{10}$，
∴$x^{2}+(3x)^{2}=(3\sqrt{10})^{2}$，

∴$x = 3$，
∴$CD = 3$。

在 $Rt\triangle ACD$ 中，
∵$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，

∴$\frac{3}{AC}=\frac{3}{5}$，解得 $AC = 5$。

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC 于点 D. 若 AD : CD = 4 : 1，求 sinA，tanA 的值.

答案：

3. 解：
∵$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BD\perp AC$，
∴$\angle ADB=\angle CDB = 90^{\circ}$，

$\angle CBD+\angle ABD=\angle ABD+\angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle CBD=\angle A$，

∴$\triangle CDB\sim\triangle BDA$，

∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{DA}$，
∴$BD^{2}=CD· DA$。

∵$AD:CD = 4:1$，
∴设 $CD = k$，则 $AD = 4k$，

∴$BD = 2k$，从而 $AB = 2\sqrt{5}k$，

∴$\sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{2k}{2\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$。

4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$，请你确定式子$\frac{a^{2}}{bc}\cos A+\frac{b^{2}}{ac}\cos B$是否为常数，并证明你的结论.

答案：

4. 解：是常数。证明：
∵$\cos A=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，

∴$\frac{a^{2}}{bc}\cos A+\frac{b^{2}}{ac}\cos B=\frac{a^{2}}{bc}·\frac{b}{c}+\frac{b^{2}}{ac}·\frac{a}{c}=\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$。

∴式子$\frac{a^{2}}{bc}\cos A+\frac{b^{2}}{ac}\cos B$是常数。