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1. 如图，已知二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$的图像，利用图像解答下列问题：
(1)一元二次方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的解是
(2)当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围是
(3)当$x ＜ 0$时，$y$的取值范围是
(1)一元二次方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的解是
$x_1=-1,x_2=3$
；(2)当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围是
$x＜-1或x＞3$
；(3)当$x ＜ 0$时，$y$的取值范围是
$y＞-3$
.
答案：
1.
(1)$x_1=-1,x_2=3$
(2)$x＜-1或x＞3$
(3)$y＞-3$
(1)$x_1=-1,x_2=3$
(2)$x＜-1或x＞3$
(3)$y＞-3$
2. 已知抛物线$y = x^{2} - mx + m - 2$.
(1)求证：不论$m$为何值，此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点；
(2)若该抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)$，且$x_{1} + x_{2} = 2x_{1}x_{2}$，求$m$的值.
(1)求证：不论$m$为何值，此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点；
(2)若该抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)$，且$x_{1} + x_{2} = 2x_{1}x_{2}$，求$m$的值.
答案：
2.
(1)证明：令$y=x^{2}-mx+m-2=0$，
则$b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$。
$\because(m-2)^{2}\geq0$，
$\therefore b^{2}-4ac=(m-2)^{2}+4＞0$，
$\therefore x^{2}-mx+m-2=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$不论$m$为何值，此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点。
(2)解：$\because$该抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2，0)$，
$\therefore x_1,x_2$是一元二次方程$x^{2}-mx+m-2=0$的两个根，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-m}{1}=m,x_1x_2=m-2$。
$\because x_1+x_2=2x_1x_2$，
$\therefore m=2(m-2)$，
解得$m=4$。
(1)证明：令$y=x^{2}-mx+m-2=0$，
则$b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$。
$\because(m-2)^{2}\geq0$，
$\therefore b^{2}-4ac=(m-2)^{2}+4＞0$，
$\therefore x^{2}-mx+m-2=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$不论$m$为何值，此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点。
(2)解：$\because$该抛物线与$x$轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2，0)$，
$\therefore x_1,x_2$是一元二次方程$x^{2}-mx+m-2=0$的两个根，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-m}{1}=m,x_1x_2=m-2$。
$\because x_1+x_2=2x_1x_2$，
$\therefore m=2(m-2)$，
解得$m=4$。
3. 已知二次函数$y = ax^{2} - 2ax - 3(a \neq 0)$的图像经过点$(1, - 4)$.
(1)求$a$的值和二次函数图像的对称轴；
(2)若把该函数图像向上平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后与$x$轴恰好只有一个交点，求$m$的值.
(1)求$a$的值和二次函数图像的对称轴；
(2)若把该函数图像向上平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后与$x$轴恰好只有一个交点，求$m$的值.
答案：
3.解：
(1)把$(1,-4)$代入$y=ax^{2}-2ax-3$，得$-4=a-2a-3$，解得$a=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x-3$。
$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
$\therefore$二次函数图像的对称轴为直线$x=1$。
(2)该函数图像向上平移$m(m＞0)$个单位长度后所得函数图像的表达式为$y=x^{2}-2x-3+m$，$\because$平移后的二次函数图像与$x$轴只有一个交点，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x-3+m=0$有两个相等
的实数根，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3+m)=0$，解得$m=4$，即$m$的值为$4$。
(1)把$(1,-4)$代入$y=ax^{2}-2ax-3$，得$-4=a-2a-3$，解得$a=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x-3$。
$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
$\therefore$二次函数图像的对称轴为直线$x=1$。
(2)该函数图像向上平移$m(m＞0)$个单位长度后所得函数图像的表达式为$y=x^{2}-2x-3+m$，$\because$平移后的二次函数图像与$x$轴只有一个交点，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x-3+m=0$有两个相等
的实数根，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3+m)=0$，解得$m=4$，即$m$的值为$4$。
4. 已知抛物线$y = x^{2} + 2x + 3$的顶点为$A$，它与$y$轴的交点为$B$.
(1)求线段$AB$的长；
(2)平移该抛物线，使其顶点在$y$轴上，且与$x$轴两交点间的距离为$4$，求平移后所得抛物线的函数表达式.
(1)求线段$AB$的长；
(2)平移该抛物线，使其顶点在$y$轴上，且与$x$轴两交点间的距离为$4$，求平移后所得抛物线的函数表达式.
答案：
4.解：
(1)$\because y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2$，当$x=0$时，$y=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,2)$，点$B$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore AB=\sqrt{(-1-0)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{2}$。
(2)设平移后的抛物线的函数表达式为$y=x^{2}+k$。
$\because$抛物线的对称轴是直线$x=0$，平移后与$x$轴的两个交点之间的距离是$4$，$\therefore$平移后的抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$，$(2,0)$，$\therefore2^{2}+k=0$，解得$k=-4$，
$\therefore$平移后抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-4$。
(1)$\because y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2$，当$x=0$时，$y=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,2)$，点$B$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore AB=\sqrt{(-1-0)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{2}$。
(2)设平移后的抛物线的函数表达式为$y=x^{2}+k$。
$\because$抛物线的对称轴是直线$x=0$，平移后与$x$轴的两个交点之间的距离是$4$，$\therefore$平移后的抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$，$(2,0)$，$\therefore2^{2}+k=0$，解得$k=-4$，
$\therefore$平移后抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-4$。
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