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1. 已知二次函数$y = - x^{2} + (a + 2)x + 1$的最大值为$5$，求$a$的值.
答案：
1. 解：因为二次函数的表达式为$y = -x^2 + (a + 2)x + 1$，
所以抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为
$\frac{4 × (-1) × 1 - (a + 2)^2}{4 × (-1)} = \frac{a^2 + 4a + 8}{4}$．
又因为二次函数的最大值为$5$，所以$\frac{a^2 + 4a + 8}{4} = 5$，解得
$a = 2$或$a = -6$，
所以$a$的值为$2$或$-6$．
所以抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为
$\frac{4 × (-1) × 1 - (a + 2)^2}{4 × (-1)} = \frac{a^2 + 4a + 8}{4}$．
又因为二次函数的最大值为$5$，所以$\frac{a^2 + 4a + 8}{4} = 5$，解得
$a = 2$或$a = -6$，
所以$a$的值为$2$或$-6$．
2. 求二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$在$0 \leq x \leq 3$范围内的最小值和最大值.
答案：
2. 解：$\because y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$，
$\therefore$二次函数图像的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为
$(1, -4)$．
$\because 0 \leq x \leq 3$，$\therefore$当$x = 1$时，取得最小值$y = -4$；当$x = 3$
时，取得最大值$y = 0$．
$\therefore$二次函数图像的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为
$(1, -4)$．
$\because 0 \leq x \leq 3$，$\therefore$当$x = 1$时，取得最小值$y = -4$；当$x = 3$
时，取得最大值$y = 0$．
3. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^{2} - 4ax - 2(a ＜ 0)$与$y$轴交于点$A$.
(1)求点$A$的坐标及该抛物线的对称轴；
(2)当$- 1 \leq x \leq 3$时，$y$的最大值是$2$，求当$- 1 \leq x \leq 3$时，$y$的最小值.
(1)求点$A$的坐标及该抛物线的对称轴；
(2)当$- 1 \leq x \leq 3$时，$y$的最大值是$2$，求当$- 1 \leq x \leq 3$时，$y$的最小值.
答案：
3. 解：
(1)$\because A$是抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$与$y$轴的
交点，
$\therefore$将$x = 0$代入$y = ax^2 - 4ax - 2$，得$y = -2$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(0, -2)$．
$\because y = ax^2 - 4ax - 2 = a(x - 2)^2 - 4a - 2(a ＜ 0)$，
$\therefore$抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$的对称轴为直线$x = 2$．
(2)由
(1)可知抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$的顶点坐
标为$(2, -4a - 2)$，对称轴为直线$x = 2$．
$\because$当$-1 \leq x \leq 3$时，$y$的最大值是$2$，
$\therefore -4a - 2 = 2$，$\therefore a = -1$，
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -x^2 + 4x - 2$，
$\therefore$当$-1 \leq x \leq 3$时，在$x = -1$时，$y$取得最小值，为$-7$．
(1)$\because A$是抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$与$y$轴的
交点，
$\therefore$将$x = 0$代入$y = ax^2 - 4ax - 2$，得$y = -2$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(0, -2)$．
$\because y = ax^2 - 4ax - 2 = a(x - 2)^2 - 4a - 2(a ＜ 0)$，
$\therefore$抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$的对称轴为直线$x = 2$．
(2)由
(1)可知抛物线$y = ax^2 - 4ax - 2(a ＜ 0)$的顶点坐
标为$(2, -4a - 2)$，对称轴为直线$x = 2$．
$\because$当$-1 \leq x \leq 3$时，$y$的最大值是$2$，
$\therefore -4a - 2 = 2$，$\therefore a = -1$，
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -x^2 + 4x - 2$，
$\therefore$当$-1 \leq x \leq 3$时，在$x = -1$时，$y$取得最小值，为$-7$．
4. 已知函数$y = - x^{2} + bx + c$($b$，$c$为常数)的图像经过点$(0$，$- 3)$，$( - 2$，$5)$.
(1)求$b$，$c$的值；
(2)当$- 4 \leq x \leq 0$时，求$y$的最大值；
(3)当$m \leq x \leq 0$时，若$y$的最大值与最小值之和为$2$，请直接写出$m$的值.
(1)求$b$，$c$的值；
(2)当$- 4 \leq x \leq 0$时，求$y$的最大值；
(3)当$m \leq x \leq 0$时，若$y$的最大值与最小值之和为$2$，请直接写出$m$的值.
答案：
(1) 把$(0,-3)$，$(-2,5)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得
(2) 由
(1)知$y=-x^{2}-6x - 3=-(x + 3)^{2}+6$，又$\because -4\leqslant x\leqslant0$，$\therefore$当$x = -3$时，$y$有最大值为$6$。
(3) ①当$-3\lt m\leqslant0$时，当$x = 0$时，$y$有最小值为$-3$，当$x = m$时，$y$有最大值为$-m^{2}-6m - 3$，$\therefore -m^{2}-6m - 3+(-3)=2$，解得$m = -2$或$m = -4$（舍去），$\therefore m = -2$。
解：
(1) 把$(0,-3)$，$(-2,5)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}c = -3\\-4 - 2b + c = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -6\\c = -3\end{cases}$。
(2) 由
(1)知$y=-x^{2}-6x - 3=-(x + 3)^{2}+6$，又$\because -4\leqslant x\leqslant0$，$\therefore$当$x = -3$时，$y$有最大值为$6$。
(3) ①当$-3\lt m\leqslant0$时，当$x = 0$时，$y$有最小值为$-3$，当$x = m$时，$y$有最大值为$-m^{2}-6m - 3$，$\therefore -m^{2}-6m - 3+(-3)=2$，解得$m = -2$或$m = -4$（舍去），$\therefore m = -2$。
②当$m\leqslant -3$时，当$x = -3$时，$y$有最大值为$6$，$\because y$的最大值与最小值之和为$2$，
$\therefore y$的最小值为$-4$，$\therefore -(m + 3)^{2}+6=-4$，
解得$m=-3-\sqrt{10}$或$m=-3+\sqrt{10}$（舍去）。
综上所述，$m$的值为$-2$或$-3-\sqrt{10}$。
5. 已知二次函数$y = x^{2} - 4x + 3$，当$m \leq x \leq m + 2$时，$y$的最小值为$\frac{5}{4}$，求$m$的值.
答案：
5. 解：$\because$二次函数$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$，
$\therefore$对称轴为直线$x = 2$，当$x = 2$时，$y$取得最小值，为$-1$．
①当$m + 2 ＜ 2$，即$m ＜ 0$时，在$x = m + 2$时，$y$取得最小值
$\frac{5}{4}$，$\therefore (m + 2 - 2)^2 - 1 = \frac{5}{4}$，
解得$m = -\frac{3}{2}$或$m = \frac{3}{2}$(舍去)．
②当$m ＞ 2$时，在$x = m$时，$y$取得最小值$\frac{5}{4}$，
$\therefore (m - 2)^2 - 1 = \frac{5}{4}$，解得$m = \frac{7}{2}$或$m = \frac{1}{2}$(舍去)．
③当$m \leq 2$且$m + 2 \geq 2$时，即$0 \leq m \leq 2$时，在$x = 2$时，$y$
取得最小值，为$-1$，不合题意．
综上所述，$m$的值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$．
$\therefore$对称轴为直线$x = 2$，当$x = 2$时，$y$取得最小值，为$-1$．
①当$m + 2 ＜ 2$，即$m ＜ 0$时，在$x = m + 2$时，$y$取得最小值
$\frac{5}{4}$，$\therefore (m + 2 - 2)^2 - 1 = \frac{5}{4}$，
解得$m = -\frac{3}{2}$或$m = \frac{3}{2}$(舍去)．
②当$m ＞ 2$时，在$x = m$时，$y$取得最小值$\frac{5}{4}$，
$\therefore (m - 2)^2 - 1 = \frac{5}{4}$，解得$m = \frac{7}{2}$或$m = \frac{1}{2}$(舍去)．
③当$m \leq 2$且$m + 2 \geq 2$时，即$0 \leq m \leq 2$时，在$x = 2$时，$y$
取得最小值，为$-1$，不合题意．
综上所述，$m$的值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$．
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