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1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=24，AB=25，计算：$\tan A · \tan B - 1$.
答案：
1.解:在Rt△ABC中,由勾股定理，得BC=7,
∴tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{7}{24}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{24}{7}$,
∴原式 = $\frac{7}{24}$×$\frac{24}{7}$−1 = 0.
∴tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{7}{24}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{24}{7}$,
∴原式 = $\frac{7}{24}$×$\frac{24}{7}$−1 = 0.
2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，$\tan A = 0.6$，求 AC 和 AB 的长.
答案：
2.解:在Rt△ABC中,
∵tanA = $\frac{BC}{AC}$ = 0.6,BC = 3,
∴AC = 5,
∴AB = $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{34}$
∵tanA = $\frac{BC}{AC}$ = 0.6,BC = 3,
∴AC = 5,
∴AB = $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{34}$
3. 如图，在 △ABC 中，AB=BC=15，$\tan \angle ABC = \frac{3}{4}$，求边 AC 的长.
答案：
3.解:如答图，过点A作AE⊥BC,垂足为E;
∵在Rt△ABE中,tan∠ABC = $\frac{AE}{BE}$ = $\frac{3}{4}$,AB = 15,
∴设AE = 3x,BE = 4x,则AB = 5x = 15,
∴x = 3,
∴AE = 9,BE = 12,
∴CE = BC−BE = 15−12 = 3.
在Rt△AEC中,根据勾股定理,得AC = $\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{9^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{10}$
3.解:如答图，过点A作AE⊥BC,垂足为E;
∵在Rt△ABE中,tan∠ABC = $\frac{AE}{BE}$ = $\frac{3}{4}$,AB = 15,
∴设AE = 3x,BE = 4x,则AB = 5x = 15,
∴x = 3,
∴AE = 9,BE = 12,
∴CE = BC−BE = 15−12 = 3.
在Rt△AEC中,根据勾股定理,得AC = $\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{9^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{10}$
4. 在如图所示的正方形网格中，每个小四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 四点都在格点处，AB 与 CD 相交于点 O，求 $\tan \angle BOD$ 的值.
答案：
4.解:如答图,将AB向上平移1格到A'B',设A'B'与CD 交于点O',标注图中格点E,连接EB'.
∵AB//A'B',
∴∠BOD = ∠B'O'D.
设小正方形的边长是1,则O'B' = 2$\sqrt{5}$,B'E = 3$\sqrt{2}$,O'E = $\sqrt{2}$,
∴O'E² + B'E² = O'B'²,
∴△EOB'是直角三角形,且∠O'EB' = 90°,
∴tan∠BOD = tan∠B'O'D = $\frac{B'E}{O'E}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 3.
4.解:如答图,将AB向上平移1格到A'B',设A'B'与CD 交于点O',标注图中格点E,连接EB'.
∵AB//A'B',
∴∠BOD = ∠B'O'D.
设小正方形的边长是1,则O'B' = 2$\sqrt{5}$,B'E = 3$\sqrt{2}$,O'E = $\sqrt{2}$,
∴O'E² + B'E² = O'B'²,
∴△EOB'是直角三角形,且∠O'EB' = 90°,
∴tan∠BOD = tan∠B'O'D = $\frac{B'E}{O'E}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 3.
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