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1.已知二次函数$y=ax^{2}+bx - 3$的图像经过点$A(2, - 3),B( - 1,0)$，求该二次函数的表达式.
答案：
解：由题意，得$\begin{cases} 4a + 2b - 3 = -3, \\ a - b - 3 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = -2, \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^{2} - 2x - 3$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^{2} - 2x - 3$。
2.已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点坐标为$(3,0)$，且经过点$(4,2)$，求该抛物线的函数表达式.
答案：
解：$\because$抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的顶点坐标为$(3,0)$，
$\therefore$其函数表达式为$y = a(x - 3)^{2}$。
$\because$该抛物线经过点$(4,2)$，
$\therefore 2 = a(4 - 3)^{2}$，解得$a = 2$，
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = 2(x - 3)^{2}$，
即$y = 2x^{2} - 12x + 18$。
$\therefore$其函数表达式为$y = a(x - 3)^{2}$。
$\because$该抛物线经过点$(4,2)$，
$\therefore 2 = a(4 - 3)^{2}$，解得$a = 2$，
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = 2(x - 3)^{2}$，
即$y = 2x^{2} - 12x + 18$。
3.已知二次函数的图像如图所示，求这个二次函数的表达式.
答案：
解：由题图可知，该二次函数的图像经过点$(-1,0)$，$(3,0)$，$(0,-3)$，
$\therefore$设该二次函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，
把$(0,-3)$代入，得$-3 = a × 1 × (-3)$，解得$a = 1$，
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = (x + 1)(x - 3)$，
即$y = x^{2} - 2x - 3$。
$\therefore$设该二次函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，
把$(0,-3)$代入，得$-3 = a × 1 × (-3)$，解得$a = 1$，
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = (x + 1)(x - 3)$，
即$y = x^{2} - 2x - 3$。
4.画二次函数$y = ax^{2}+bx$的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格(不完整).
求该二次函数的表达式并补全表格.
解：由表格中的对应值可知，当$x = -1$时，$y = -5$，当$x = 2$时，$y = 4$，$\therefore \begin{cases} a - b = -5, \\ 4a + 2b = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = 4, \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = -x^{2} + 4x$，
$\therefore$当$x = 0$时，$y = 0$，当$x = 4$时，$y = 0$。
求该二次函数的表达式并补全表格.
解：由表格中的对应值可知，当$x = -1$时，$y = -5$，当$x = 2$时，$y = 4$，$\therefore \begin{cases} a - b = -5, \\ 4a + 2b = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = 4, \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = -x^{2} + 4x$，
$\therefore$当$x = 0$时，$y = 0$，当$x = 4$时，$y = 0$。
答案：
解：由表格中的对应值可知，当$x = -1$时，$y = -5$，当$x = 2$时，$y = 4$，$\therefore \begin{cases} a - b = -5, \\ 4a + 2b = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = 4, \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = -x^{2} + 4x$，
$\therefore$当$x = 0$时，$y = 0$，当$x = 4$时，$y = 0$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = -x^{2} + 4x$，
$\therefore$当$x = 0$时，$y = 0$，当$x = 4$时，$y = 0$。
5.若二次函数$y=ax^{2}+bx + c$的$x$与$y$的部分对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图像上有两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$.
①若$y_{1}=y_{2}$，当$x = x_{1}+x_{2}$时，求$y$的值；
②若$x_{1}=3$且$y_{1}\geqslant y_{2}$，求$x_{2}$的取值范围.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图像上有两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$.
①若$y_{1}=y_{2}$，当$x = x_{1}+x_{2}$时，求$y$的值；
②若$x_{1}=3$且$y_{1}\geqslant y_{2}$，求$x_{2}$的取值范围.
答案：
解：
(1)在表格中取点$(-1,4)$，$(0,3)$，$(1,0)$，将上述各点
代入函数表达式，得$\begin{cases} a - b + c = 4, \\ c = 3, \\ a + b + c = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = -2, \\ c = 3, \end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = -x^{2} - 2x + 3$。
(2)①由
(1)可知二次函数图像的对称轴为直线$x = -1$。
当$y_1 = y_2$时，点$A$，$B$关于二次函数图像的对称轴对称，
$\therefore x = x_1 + x_2 = 2 × (-1) = -2$，
$\therefore y = -x^{2} - 2x + 3 = -(-2)^{2} - 2 × (-2) + 3 = 3$。
②当$x_1 = 3$时，$y_1 = -x^{2} - 2x + 3 = -3^{2} - 2 × 3 + 3 = -12$，
$\therefore A(3,-12)$。
$\because$点$A$关于二次函数图像对称轴的对称点为$(-5,-12)$，且$a = -1 ＜ 0$，
$\therefore$当$y_1 \geq y_2$时，$x_2$的取值范围为$x_2 \leq -5$或$x_2 \geq 3$。
(1)在表格中取点$(-1,4)$，$(0,3)$，$(1,0)$，将上述各点
代入函数表达式，得$\begin{cases} a - b + c = 4, \\ c = 3, \\ a + b + c = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = -2, \\ c = 3, \end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = -x^{2} - 2x + 3$。
(2)①由
(1)可知二次函数图像的对称轴为直线$x = -1$。
当$y_1 = y_2$时，点$A$，$B$关于二次函数图像的对称轴对称，
$\therefore x = x_1 + x_2 = 2 × (-1) = -2$，
$\therefore y = -x^{2} - 2x + 3 = -(-2)^{2} - 2 × (-2) + 3 = 3$。
②当$x_1 = 3$时，$y_1 = -x^{2} - 2x + 3 = -3^{2} - 2 × 3 + 3 = -12$，
$\therefore A(3,-12)$。
$\because$点$A$关于二次函数图像对称轴的对称点为$(-5,-12)$，且$a = -1 ＜ 0$，
$\therefore$当$y_1 \geq y_2$时，$x_2$的取值范围为$x_2 \leq -5$或$x_2 \geq 3$。
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