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3. 选用合适的方法解下列方程：
(1)$(x + 3)^2 = (1 - 3x)^2$；
(2)$2x(x - 2) = x^2 - 3$。
(1)$(x + 3)^2 = (1 - 3x)^2$；
(2)$2x(x - 2) = x^2 - 3$。
答案：
3.
(1)解：$x_1=-0.5$，$x_2=2$；
(2)解：$x_1=1$，$x_2=3$.
(1)解：$x_1=-0.5$，$x_2=2$；
(2)解：$x_1=1$，$x_2=3$.
【例 3】(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(
A.$x^2 - 6x = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 - 6x + 6 = 0$
D.$x^2 - 6x + 9 = 0$
D
)A.$x^2 - 6x = 0$
B.$x^2 - 9 = 0$
C.$x^2 - 6x + 6 = 0$
D.$x^2 - 6x + 9 = 0$
答案：
【例3】D
4. (2024·新疆)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$k＜\frac{9}{4}$
。
答案：
4.$k＜\frac{9}{4}$
5. 若$\alpha$，$\beta$是关于$x$的方程$x^2 - 2x + m = 0$的两个实数根，且$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2}{3}$，则$m$的值是
-3
。
答案：
5.$-3$
【例 4】某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元。假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同。
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请计算 4 月份该公司的生产成本。
【思路点拨】(1)根据“降低前的量$×(1 -$降低率$)^{次数} =$降低后的量”列方程求解；(2)根据“4 月份的生产成本$=$3 月份的生产成本量$×(1 -$降低率)”列式计算。
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请计算 4 月份该公司的生产成本。
【思路点拨】(1)根据“降低前的量$×(1 -$降低率$)^{次数} =$降低后的量”列方程求解；(2)根据“4 月份的生产成本$=$3 月份的生产成本量$×(1 -$降低率)”列式计算。
答案：
【例4】解：
(1)设该公司每个月生产成本的下降率为$x$，根据题意，得$400(1 - x)^2 = 361$.解得$x_1=\frac{1}{20}=5\%$，$x_2=\frac{39}{20}=1.95＞1$(不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为$5\%$；
(2)$361×(1 - 5\%) = 342.95$(万元).答：4月份该公司的生产成本为$342.95$万元.
(1)设该公司每个月生产成本的下降率为$x$，根据题意，得$400(1 - x)^2 = 361$.解得$x_1=\frac{1}{20}=5\%$，$x_2=\frac{39}{20}=1.95＞1$(不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为$5\%$；
(2)$361×(1 - 5\%) = 342.95$(万元).答：4月份该公司的生产成本为$342.95$万元.
6. (2024·江岸期中)某种植物的主干长出$x$个支干，每个支干又长出$x$个小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，根据题意可列方程
$1 + x + x^2 = 57$
。
答案：
6.$1 + x + x^2 = 57$
7. (2024·洪山月考)卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若 3 人患了流感，经过两轮传染后共有 108 人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了
5
人。
答案：
7.$5$
8. 若方程$(m - 1)x^{m^2 + 1} + 2mx - 3 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值是
-1
。
答案：
8.$-1$
9. (2024·黑龙江)关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^2 + 4x + 2 = 0$有两个实数根，则$m$的取值为
$m\leqslant4$且$m\neq2$
。
答案：
9.$m\leqslant4$且$m\neq2$
10. 当$k =$
-3
时，方程$2x^2 + (k^2 - 2k - 15)x + k = 0$的两个实数根互为相反数。
答案：
10.$-3$
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