《2025年课时提优计划作业本七年级数学上册苏科版》

1. 对于任意的有理数 $a$、$b$,如果满足 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}= \frac{a + b}{2 + 3}$,那么我们称这一对数 $a$、$b$ 为“相随数对”,记为 $(a,b)$。若 $(m,n)$ 是“相随数对”,则 $2[4m+(2n + 1)]+m$ 的值为( )

A.$-2$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$

答案： C 解析:因为(m,n)是"相随数对",所以$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}=\frac{m+n}{5}$,所以15m+10n=6m+6n,即9m+4n=0,所以2[4m+(2n+1)]+m=2(4m+2n+1)+m=8m+4n+2+m=9m+4n+2=0+2=2.

2. 数学巨人欧拉最先把关于 $x$ 的多项式用记号 $f(x)$($f$ 可用其他字母,但不同的字母表示不同的多项式)来表示,例如 $f(x)= x^{2}+3x - 5$。把 $x$ 为某数时多项式的值用 $f$(某数)来表示,例如 $x = - 1$ 时多项式 $x^{2}+3x - 5$ 的值记为 $f(-1)= (-1)^{2}+3×(-1)-5= -7$。
已知 $g(x)= -2x^{2}-3x + 1$,$h(x)= ax^{3}+2x^{2}-x - 12$。
(1) 求 $g(-2)$ 值。
(2) 若 $h(\frac{1}{2})= -11$,求 $g(a)$ 的值。

答案：
(1)g(-2)=-2×(-2)²-3×(-2)+1=-8+6+1=-1.
(2)因为$h(\frac{1}{2})=-11$,所以$a×(\frac{1}{2})^{3}+2×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}-12=-11$,解得a=8,所以g(a)=-2×8²-3×8+1=-2×64-24+1=-128-24+1=-151.

3. 如图是 1925 年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成 10 个大小不同的正方形,其中标注 1、2 的正方形边长分别为 $x$、$y$,请你计算：
(1) 标注 3 的正方形边长为______(用含 $x$、$y$ 的代数式表示,后两空同)；标注 5 的正方形边长为______；标注 10 的正方形边长为______。
(2) 当 $x = 2$ 时,标注 9 的正方形面积为______。
(3) 当 $x$、$y$ 均为正整数时,求这个完美长方形的最小周长。

答案：
(1)x+y x+3y 3y-3x 解析:标注1,2的正方形边长分别为x,y,则标注3的正方形边长为x+y;标注4的正方形边长为x+y+y=x+2y;标注5的正方形边长为x+2y+y=x+3y;标注6的正方形边长为x+3y+y-x=4y;标注7的正方形边长为4y-x;标注10的正方形边长为4y-x-x-(x+y)=3y-3x;标注8的正方形边长为4y-x+3y-3x=7y-4x;标注9的正方形边长为x+y+x+2y-(3y-3x)=5x.
(2)100 解析:当x=2时,标注9的正方形边长为5x=5×2=10,所以标注9的正方形面积为100.
(3)因为标注6、7、8的正方形边长之和等于标注5、4、9的正方形边长之和,所以4y+4y-x+7y-4x=x+3y+x+2y+5x,整理,得y=1.2x,所以完美长方形的周长为2[(x+3y+x+2y+5x)+(x+3y+4y)]=2(8x+12y)=44.8x.因为x、y均为正整数,所以当x=5,y=6时,完美长方形的周长最小,即44.8x=44.8×5=224,所以这个完美长方形的最小周长为224.