《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版盐城专版》

10. 用配方法解下列一元二次方程：
(1)$x^{2}-\frac {2}{3}x-\frac {8}{9}= 0$；
(2)$x^{2}-\frac {3}{2}x+\frac {9}{16}= 0$；
(3)$x^{2}= \frac {9}{2}-5x$；
(4)$x^{2}+\frac {1}{3}= \frac {2\sqrt {3}}{3}x$.

答案： $(1)$ $x^{2}-\frac {2}{3}x-\frac {8}{9}=0$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-\frac {2}{3}x&=\frac {8}{9}\\x^{2}-\frac {2}{3}x + (\frac{1}{3})^2&=\frac {8}{9}+(\frac{1}{3})^2\\(x - \frac{1}{3})^2&=\frac {8}{9}+\frac{1}{9}\\(x - \frac{1}{3})^2&=1\\x - \frac{1}{3}&=\pm1\\x&=\frac{1}{3}\pm1\end{aligned}$
所以$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。
$(2)$ $x^{2}-\frac {3}{2}x+\frac {9}{16}=0$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-\frac {3}{2}x&=-\frac {9}{16}\\x^{2}-\frac {3}{2}x + (\frac{3}{4})^2&=-\frac {9}{16}+(\frac{3}{4})^2\\(x - \frac{3}{4})^2&=-\frac {9}{16}+\frac{9}{16}\\(x - \frac{3}{4})^2&=0\\x - \frac{3}{4}&=0\\x&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
所以$x_1 = x_2=\frac{3}{4}$。
$(3)$ $x^{2}=\frac {9}{2}-5x$
解：
$\begin{aligned}x^{2}+5x&=\frac {9}{2}\\x^{2}+5x + (\frac{5}{2})^2&=\frac {9}{2}+(\frac{5}{2})^2\\(x + \frac{5}{2})^2&=\frac {9}{2}+\frac{25}{4}\\(x + \frac{5}{2})^2&=\frac {18}{4}+\frac{25}{4}\\(x + \frac{5}{2})^2&=\frac {43}{4}\\x + \frac{5}{2}&=\pm\frac{\sqrt{43}}{2}\\x&=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{43}}{2}\end{aligned}$
所以$x_1=\frac{-5 + \sqrt{43}}{2}$，$x_2=\frac{-5 - \sqrt{43}}{2}$。
$(4)$ $x^{2}+\frac {1}{3}=\frac {2\sqrt {3}}{3}x$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-\frac {2\sqrt {3}}{3}x&=-\frac {1}{3}\\x^{2}-\frac {2\sqrt {3}}{3}x + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2&=-\frac {1}{3}+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\(x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2&=-\frac {1}{3}+\frac{1}{3}\\(x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2&=0\\x - \frac{\sqrt{3}}{3}&=0\\x&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
所以$x_1 = x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

11. 先阅读理解下面的例题,再按要求解决问题：
求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解：$y^{2}+4y+8= y^{2}+4y+4+4= (y+2)^{2}+4$.
$\because (y+2)^{2}≥0,\therefore (y+2)^{2}+4≥4,\therefore y^{2}+4y+8$的最小值是4.
(1)求代数式$m^{2}+2m+4$的最小值；
(2)求代数式$2024-x^{2}+2x$的最大值.

答案： 解:
(1)
∵$m^{2}+2m+4=(m^{2}+2m+1)+3=(m+1)^{2}+3\geq3$,
∴当$m=-1$时,$m^{2}+2m+4$的最小值是3.
(2)
∵$2024 - x^{2}+2x=-x^{2}+2x+2024=-(x^{2}-2x+1)+2025=-(x - 1)^{2}+2025\leq2025$,
∴当$x = 1$时,$2024 - x^{2}+2x$的最大值是2025.

12. (2024春·启东期中)(1)下面是小李探索$\sqrt {2}$的近似值的过程,请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt {2}$,且$\sqrt {2}＞1$,设$\sqrt {2}= 1+x$,可画出示意图(如图).
由面积公式,可得$x^{2}+2x+1= 2$. 略去$x^{2}$,得方程$2x+1= 2$. 解得$x= 0.5$,即$\sqrt {2}\approx$______.
上述过程中,主要运用的数学思想是______.
(2)容易知道$1＜\sqrt {3}＜2$,设$\sqrt {3}= 2-x$,请类比(1)的方法,探究$\sqrt {3}$的近似值.

答案：

(1)1.5 数形结合思想
(2)解:如答图，设$\sqrt{3}=2 - x$,则$(2 - x)^{2}=3$.

根据答图中的面积可得:$2^{2}-2x - 2x - x^{2}=(2 - x)^{2}=3$,
∴$4 - 4x - x^{2}=3$,
略去$x^{2}$,得方程$4 - 4x = 3$,
∴$x = 0.25$,
∴$\sqrt{3}\approx2 - 0.25 = 1.75$.