《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版盐城专版》

4.(2024·江阴二模)在矩形ABCD中,AB= 16 cm,BC= 6 cm,动点P,Q分别以3 cm/s,2 cm/s的速度从点A,C同时出发,沿规定路线移动.
(1)如图①,若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,问经过多长时间,P,Q两点之间的距离是10 cm?
(2)如图②,若点P沿着AB→BC→CD移动,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试求经过多长时间,△PBQ的面积为$12 cm^2?$

答案： 解:
(1)过点P作$PE⊥CD$于点E.
设x秒后,点 P和点Q之间的距离是10 cm.
$(16-2x-3x)^{2}+6^{2}=10^{2}$,$\therefore x_{1}=\frac {8}{5}$,$x_{2}=\frac {24}{5}$.
∴经过$\frac {8}{5}s$或$\frac {24}{5}s$,P,Q两点之间的距离是10 cm.
(2)设经过y s后,$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.
①当$0≤y≤\frac {16}{3}$时,$PB=16-3y$,$\frac {1}{2}PB\cdot BC=12$,
即$\frac {1}{2}×(16-3y)×6=12$,解得$y=4$;
②当$\frac {16}{3}＜y≤\frac {22}{3}$时,$BP=3y-16$,$QC=2y$,
$\frac {1}{2}PB\cdot CQ=12$,即$\frac {1}{2}×(3y-16)×2y=12$,
解得$y_{1}=6$,$y_{2}=-\frac {2}{3}$(舍去);
③当$\frac {22}{3}＜y≤8$时,$QP=CQ-PC=22-y$,
$\frac {1}{2}QP\cdot CB=12$,即$\frac {1}{2}×(22-y)×6=12$,
解得$y=18$(舍去).
综上所述,经过4 s或6 s,$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.

5.如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 6 cm,BC= 8 cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动,点P,Q分别从点A,C同时出发.
(1)点P,Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?若存在,求出移动的时间;若不存在,请说明理由.
(2)点P,Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积最大?若存在,求出移动的时间和最大的面积;若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)不存在.理由如下:
设x s时,$\triangle PCQ$的面积等于$\triangle ABC$的面积的一半.
由题意得$\frac {1}{2}×(6-x)×2x=\frac {1}{2}×\frac {1}{2}×6×8$.
整理,得$x^{2}-6x+12=0$.
$\because b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×12=-12＜0$,
∴此方程没有实数根,
∴不存在.
(2)存在.设移动时间为y s,$\triangle PCQ$的面积为$Scm^{2}$.
根据题意,得$S=\frac {1}{2}×(6-y)×2y=-y^{2}+6y=-{(y-3)}^{2}+9$.
$\because -(y-3)^{2}≤0$,$\therefore -(y-3)^{2}+9≤9$.
∴当$y=3$时,$-(y-3)^{2}+9$取最大值9,即S的最大值为9.
答:当移动时间为3 s时,$\triangle PCQ$的面积最大,最大面积为$9cm^{2}$.