《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册人教版》

25.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=$\frac{3}{5}$,求sinB的值.

答案： 解：$\because AD = 5$，$\cos\angle ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$，$\therefore CD = AD\cdot\cos\angle ADC = 5\times\frac{3}{5}=3$，在$\text{Rt} \triangle ACD$中，$\because AD = 5$，$CD = 3$，$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，在$\text{Rt} \triangle ACB$中，$\because AC = 4$，$BC = 5$，$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$，$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$。

26.数形结合思想 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD=BC,BE=4.
求:(1)tanC的值;
(2)AD的长.

答案： 解：
(1)$\because AB = AC$，$AD\perp BC$，$\therefore AD = BC = 2DC$。$\therefore \tan C=\frac{AD}{CD}=2$；
(2)$\because \tan C = 2$，$BE\perp AC$，$BE = 4$，$\therefore EC=\frac{BE}{\tan C}=\frac{4}{\tan C}=2$。$\because BC^{2}=BE^{2}+EC^{2}$，$\therefore BC=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$，$\therefore AD = BC = 2\sqrt{5}$。

27.方程思想 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=$\frac{12}{13}$,BC=12,求AD的长.

答案： 解：
(1)证明：$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore AD\perp BC$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，在$\text{Rt} \triangle ABD$和$\text{Rt} \triangle ADC$中，$\because \tan B=\frac{AD}{BD}$，$\cos\angle DAC=\frac{AD}{AC}$，$\tan B=\cos\angle DAC$，$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore AC = BD$；
(2)在$\text{Rt} \triangle ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，故可设$AD = 12k$，$AC = 13k$，$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}} = 5k$，$\because BC = BD + CD$，$BD = AC = 13k$，$\therefore BC = 13k+5k = 18k$，$\because BC = 12$，$\therefore 18k = 12$，$\therefore k=\frac{2}{3}$，$\therefore AD = 12k = 12\times\frac{2}{3}=8$。

28.材料阅读法 推理能力 学习过三角函数后,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A 的正对记作sadA,这时sadA= $\frac{底边}{腰}$ = $\frac{BC}{AB}$.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解答下列问题:
(1)sad60°的值为　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　B.1　　　　C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　D.2
(2)对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA 的取值范围是多少？

答案： 解：
(1)B 提示：根据正对定义，当顶角为$60^{\circ}$时，等腰三角形底角为$60^{\circ}$，则三角形为等边三角形，故底边和腰相等，则$\text{sad}60^{\circ}=1$；
(2)当$\angle A$接近$0^{\circ}$时，$\text{sad}\alpha$接近$0$，当$\angle A$接近$180^{\circ}$时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故$\text{sad}A$接近$2$。于是$\text{sad}A$的取值范围是$0＜\text{sad}A＜2$。