《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册人教版》

1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与上图中△ABC相似的是（ ）

答案： B 提示：已知给出的三角形的各边$AB$，$CB$，$AC$分别长$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，只有选项B的各边长分别为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，与它的各边对应成比例。

2. 在△ABC中，AB = 6，AC = 8，在△A'B'C'中，A'B' = 4，A'C' = 3，若BC:B'C' = ，则△ABC∽△A'C'B'.

答案： $2$ 提示：由$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}=2$，可知当$\frac{BC}{B'C'}=2$时，$\triangle ABC\sim\triangle A'C'B'$。

3. 如图，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点.
（1）求证：△DEF∽△ABC；
（2）图中还有哪几个三角形与△ABC相似？

答案： 解：
(1)证明：$\because D$，$F$分别是$\triangle ABC$的边$BC$，$AB$的中点，$\therefore DF = \frac{1}{2}AC$，同理可得$EF=\frac{1}{2}BC$，$DE=\frac{1}{2}AB$，则$\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{AB}$，$\therefore\triangle DEF\sim\triangle ABC$；
(2)$\because D$，$E$，$F$分别是$\triangle ABC$的三边$BC$，$CA$，$AB$的中点，$\therefore EF// BC$，$\therefore\triangle AFE\sim\triangle ABC$；同理，$\triangle FBD\sim\triangle ABC$，$\triangle EDC\sim\triangle ABC$。

4. 如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，又因为 ，可证明△AOB∽△DOC.

答案： $\angle AOB=\angle DOC$ 提示：$\because\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，$\angle AOB=\angle DOC$，$\therefore\triangle AOB\sim\triangle DOC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

5. 如图，已知AC = 4 cm，BC = 3 cm，那么BD = cm时，△ACB∽△CBD.

答案： $\frac{9}{4}$ 提示：$\because\angle ACB=\angle CBD$，$\therefore$当$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$时，$\triangle ACB\sim\triangle CBD$，即$\frac{4}{3}=\frac{3}{BD}$，解得$BD = \frac{9}{4}\text{ cm}$。

6. 如图，在△ABC中，AB = AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB² = DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.

答案： 证明：$\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC=\angle ACB$，$\therefore\angle ABD=\angle ACE$，$\because AB^{2}=DB\cdot CE$，$\therefore\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AB}$，$\because AB = AC$，$\therefore\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$，$\therefore\triangle ADB\sim\triangle EAC$。

7. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，若AB = 6，AC = 9，AD = 4，判断△ABD与△ACB是否相似.

答案： 解：相似。理由：$\because AB = 6$，$AC = 9$，$AD = 4$，$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，又$\because\angle BAD=\angle CAB$，$\therefore\triangle ABD\sim\triangle ACB$。