《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册人教版》

8. 易错题 反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象如图所示，则二次函数$y = 2kx^{2}-4x + k^{2}$的图象大致是（ ）

答案： B　提示:
∵函数y = $\frac{k}{x}$的图象经过二、四象限,
∴k＜0,由图知当x = -1时,y = -k＜1,
∴k＞ -1,
∴抛物线y = 2kx² - 4x + k²开口向下,对称轴为x = -$\frac{-4}{2×2k}$ = $\frac{1}{k}$,$\frac{1}{k}$＜ -1,
∴对称轴在直线x = -1的左边,又
∵当x = 0时,y = k²＜1,
∴选项B符合.

9. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且$AB// y$轴，$AB = 3$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{3}{2}$.
(1)求点B的坐标；
(2)将$\triangle ABC$以点B为旋转中心顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DBE$，反比例函数的部分图象恰好过点D，求反比例函数解析式.

答案：
解:
(1)
∵AB//y轴,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·OA = $\frac{1}{2}$×3×OA = $\frac{3}{2}$,
∴OA = 1,
∴B(1,3);
(2)如图,AB = BD = 3,∠ABD = 90°,
∴DB//x轴,
∴DF = 3 - 1 = 2,
∴D(-2,3),设反比例函数解析式为y = $\frac{k}{x}$,将D(-2,3)代入,得3 = $\frac{k}{-2}$,
∴k = -6.
∴反比例函数解析式为y = -$\frac{6}{x}$.

10. [数形结合思想] 平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中$A(-6,0)$，$B(4,0)$，$C(5,3)$，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点C.
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形$ABC'D'$，请你通过计算说明点$D'$在双曲线上；
(3)请你画出$\triangle AD'C$，并求出它的面积.

答案：
解:
(1)
∵C(5,3)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上,
∴$\frac{k}{5}$ = 3,
∴k = 15,
∴反比例函数解析式为y = $\frac{15}{x}$;
(2)
∵A(-6,0),B(4,0),
∴AB = 10,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD = 10,又
∵点C的坐标为(5,3),
∴点D的坐标为(-5,3),
∵平行四边形ABCD和平行四边形ABC'D'关于x轴对称,
∴点D'的坐标为(-5,-3),
∵ -5×(-3) = 15,
∴点D'在双曲线y = $\frac{15}{x}$上;
(3)画出△AD'C如图所示.
∵点C的坐标为(5,3),点D'的坐标为(-5,-3),
∴点C和点D'关于原点中心对称,
∴点D',O,C共线,且OC = OD',
∴S△AD'C = S△AD'O + S△AOC = 2S△AOC = 2×$\frac{1}{2}$×6×3 = 18.

11. 易错题 在平面直角坐标系中，已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,\sqrt{3})$.
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转$30^{\circ}$得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由.

答案：
解:
(1)把A(1,$\sqrt{3}$)代入y = $\frac{k}{x}$,得k = 1×$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$,
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{\sqrt{3}}{x}$;
(2)点B在此反比例函数的图象上.理由如下:如图,过点A作x轴的垂线交x轴于点C,过点B作x轴的垂线交x轴于点D,在Rt△AOC中,OC = 1,AC = $\sqrt{3}$,OA = $\sqrt{AC² + OC²}$ = 2,
∴∠OAC = 30°,∠AOC = 60°,
∵线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB,
∴∠AOB = 30°,OB = OA = 2,
∴∠BOD = 60° - 30° = 30°,在Rt△BOD中,BD = $\frac{1}{2}$OB = 1,OD = $\sqrt{OB² - BD²}$ = $\sqrt{3}$,
∴点B坐标为($\sqrt{3}$,1),
∵当x = $\sqrt{3}$时,y = $\frac{\sqrt{3}}{x}$ = 1,
∴点B($\sqrt{3}$,1)在反比例函数y = $\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上.