《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册人教版》

1. 易错题 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，如图，A，B两点在函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数为 （ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C　提示:把A(1,6)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=1×6 = 6,
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$(x＞0);设直线AB的解析式为y₁ = ax + b,把A(1,6),B(6,1)代入得$\begin{cases}a + b = 6\\6a + b = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = -1\\b = 7\end{cases}$,
∴直线AB的解析式为y₁ = -x + 7;当x = 2时,y=$\frac{6}{2}$ = 3,y₁ = -2 + 7 = 5;当x = 3时,y=$\frac{6}{3}$ = 2,y₁ = -3 + 7 = 4;当x = 4时,y=$\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$,y₁ = -4 + 7 = 3;当x = 5时,y=$\frac{6}{5}$;y₁ = -5 + 7 = 2,
∴图中阴影部分(不包括边界)所含格点有(2,4),(3,3),(4,2).

2. 函数$y = \frac{2 - k}{x}$的图象与直线$y = 2x$没有交点，那么k的取值范围是 （ ）
A. $k＞2$
B. $k＞-2$
C. $k＜2$
D. $k＜-2$

答案： A　提示:把y = 2x代入y=$\frac{2 - k}{x}$得，2x = $\frac{2 - k}{x}$,即2x² + k - 2 = 0,
∵函数y=$\frac{2 - k}{x}$的图象与直线y = 2x没有交点,
∴Δ = b² - 4ac = 0² - 4×2×(k - 2)＜0,解得k＞2.

3. 如图，直线$y = -x + b$与双曲线$y = -\frac{1}{x}(x＜0)$交于点A，与x轴交于点B，则$OA^{2}-OB^{2}=$（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B　提示:
∵直线y = -x + b与双曲线y = -$\frac{1}{x}$(x＜0)交于点A,设点A的坐标为(x,y),
∴x + y = b,xy = -1,而直线y = -x + b与x轴交于点B,
∴OB = b,又
∵OA² = x² + y²,OB² = b²,
∴OA² - OB² = x² + y² - b² = (x + y)² - 2xy - b² = b² + 2 - b² = 2.

4. [几何直观] 如图，直线$y = kx + 2$与x轴、y轴分别交于点A，B，点$C(1,a)$是该直线与双曲线$y = \frac{m}{x}$的一个交点，过点C作CD垂直于y轴，垂足为D，且$S_{\triangle BCD}=1$.
(1)求双曲线的解析式；
(2)设直线与双曲线的另一个交点为E，求点E的坐标.

答案： 解:
(1)
∵△BCD的面积为1,
∴$\frac{1}{2}$BD·CD = $\frac{1}{2}$×1×BD = 1,即BD = 2,又
∵点B是直线y = kx + 2与y轴的交点,
∴点B的坐标为(0,2),
∴点D的坐标为(0,4),
∵CD⊥y轴,
∴点C的纵坐标为4,即a = 4,
∵点C在双曲线上,
∴将x = 1,y = 4代入y=$\frac{m}{x}$,得m = 4,
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$;
(2)
∵点C(1,4)在直线y = kx + 2上,
∴4 = k + 2,k = 2,
∴直线AB的解析式为y = 2x + 2.联立方程得$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y = 2x + 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}x_1 = 1\\y_1 = 4\end{cases}$,$\begin{cases}x_2 = -2\\y_2 = -2\end{cases}$,
∵C(1,4),
∴E(-2,-2).

5. 如图，反比例函数$y_1 = \frac{k_1}{x}$和一次函数$y_2 = k_2x + b$的图象交于A，B两点.A，B两点的横坐标分别为2，-3.通过观察图象，若$y_1＞y_2$，则x的取值范围是 （ ）

A. $0＜x＜2$
B. $-3＜x＜0$或$x＞2$
C. $0＜x＜2$或$x＜-3$
D. $-3＜x＜0$

答案： C　提示:
∵反比例函数y₁ = $\frac{k_1}{x}$和一次函数y₂ = k₂x + b的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为2,-3,
∴通过观察图象,当y₁＞y₂时,x的取值范围是0＜x＜2或x＜ -3.

6. 若关于x的方程$\frac{m}{x}=kx + b(k＞0)$的解为$x = 3$或$x = -1$，则关于x的不等式$\frac{m}{x}＜kx + b(k＞0)$的解集是 （ ）
A. $x＞3$
B. $-1＜x＜3$
C. $-1＜x＜0$或$x＞3$
D. $x＜-1$或$0＜x＜3$

答案：
C　提示:
∵方程$\frac{m}{x}$ = kx + b(k＞0)的解为x = 3或x = -1,
∴反比例函数y = $\frac{m}{x}$和一次函数y = kx + b(k＞0)图象的两交点的横坐标分别为3和 -1,如图，
∴当 -1＜x＜0或x＞3时,$\frac{m}{x}$＜kx + b(k＞0).

7. 图象共存问题 已知$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图，则$y = ax + b$和$y = \frac{c}{x}$的图象为 （ ）

答案： C　提示:根据二次函数y = ax² + bx + c(a≠0)的图象,可得a＜0,b＞0,c＜0,
∴y = ax + b的图象过一、二、四象限,双曲线y = $\frac{c}{x}$在二、四象限,
∴C是正确的.