同步练习册山东教育出版社高中数学人教A版
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(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
答案：$\{(x,y)|x＜0且y＞0\}$
[典例讲评] 3. 已知集合$A=\{x|ax^{2}+2x + 1 = 0，a\in R\}$，若A中只有一个元素，求a的值.
答案：当$a = 0$时，方程为$2x + 1 = 0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时A=$\{-\frac{1}{2}\}$，符合题意；
当$a\neq0$时，方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$为一元二次方程，由A中只有一个元素，得$\Delta=2^{2}-4× a×1 = 0$，即$4 - 4a = 0$，解得$a = 1$.
综上，a的值为0或1.
[母题探究] 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
答案：当A中没有元素时，$\Delta=4 - 4a＜0$，解得$a＞1$；
当A中只有一个元素时，由典例3知$a = 0$或$a = 1$.
综上，a的取值范围为$a = 0$或$a\geq1$.
[学以致用] 2. 下列三个集合：
$A=\{x|y = x^{2}+1\}$，$B=\{y|y = x^{2}+1\}$，$C=\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
答案：(1)不是相同的集合.
(2)A是函数$y = x^{2}+1$的自变量x的取值范围，即A=R；
B是函数$y = x^{2}+1$的函数值y的取值范围，即B=$\{y|y\geq1\}$；
C是函数$y = x^{2}+1$的图像上所有点组成的集合.
已知集合$A=\{x\in\mathbf{R}|mx^{2}-2x + 3 = 0,m\in\mathbf{R}\}$，若$A$中元素至少有一个，求$m$的取值范围.
答案：$\left\{m|m\leq\frac{1}{3}\right\}$
解析：“至少有一个元素”的反面是“没有元素”（空集）.当$A$是空集时，$m\neq0$且$\Delta=(-2)^{2}-4× m×3＜0$，即$4-12m＜0$，解得$m＞\frac{1}{3}$.所以$A$中至少有一个元素时，$m$的取值范围是$m\leq\frac{1}{3}$，即$\left\{m|m\leq\frac{1}{3}\right\}$.
