2025年精准学与练八年级数学上册北师大版
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8. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，E是△ABC外一点，连结AE，CE，AD。若∠1=∠2，∠E=∠D，求证：BD=CE。
答案：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC+∠1=∠ACB+∠2，即∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ABD=∠ACE\\∠D=∠E\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
9. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE。求证：△ACD≌△CBE。
答案：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADC=∠CEB\\∠CAD=∠BCE\\AC=BC\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS）。
10. 如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角尺（AB=CB，∠ABC=90°）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若∠AMN=∠CNM=90°，测得AM=18cm，CN=30cm，则该凹槽的宽度MN的长为
48
cm。
答案：48
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵∠AMN=∠CNM=90°，
∴∠A+∠ABM=90°，∠C+∠CBN=90°，
∵∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠A=∠CBN，∠C=∠ABM，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠CBN\\AB=CB\\∠ABM=∠C\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN=30cm，BN=AM=18cm，
∴MN=BM+BN=30+18=48cm。
11. 如图，在△ABC中，BF⊥AC于点F，AD⊥BC于点D，BF与AD相交于点E。若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm，则AE=
2
cm。
答案：2
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∠CAD+∠C=90°，∠FBD+∠C=90°，
∴∠CAD=∠FBD，
在△ADC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CAD=∠FBD\\AD=BD\\∠ADC=∠BDF\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF=DC=3cm，
∵AD=BD=BC-DC=8-3=5cm，
∴AE=AD-DF=5-3=2cm。
12. 某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC=BD，AB=DC。小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：因为AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，所以△ABO≌△DCO。你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程。
答案：不正确
连接BC，
在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\AC=DB\\BC=CB\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D，
在△ABO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠D\\∠AOB=∠DOC\\AB=DC\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DCO（AAS）。
13. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点P。
（1）求∠APC的度数。
（2）若AE=4，CD=4，求线段AC的长。
答案：（1）∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°，
∴∠APC=180°-(∠PAC+∠PCA)=120°。
（2）在AC上截取AF=AE=4，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠FAP，
在△AEP和△AFP中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=AF\\∠EAP=∠FAP\\AP=AP\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AFP（SAS），
∴∠APE=∠APF=60°，
∵∠APC=120°，
∴∠CPF=∠APC-∠APF=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CPF=∠CPD=60°\\CP=CP\\∠ACP=∠BCP\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF=CD=4，
∴AC=AF+CF=4+4=8。
