2025年长江作业本同步练习册高中数学必修第一册人教版
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【微训练】1.下列关系正确的是 (
C
)
A.$0\in \mathbf{N}^{*}$
B.$\pi \in \mathbf{Q}$
C.$0\in \mathbf{Z}$
D.$\sqrt{2}\notin \mathbf{R}$
答案：C
解析：$\mathbf{N}^{*}$是正整数集，0不属于$\mathbf{N}^{*}$，A错误；$\pi$是无理数，不属于有理数集$\mathbf{Q}$，B错误；0是整数，属于整数集$\mathbf{Z}$，C正确；$\sqrt{2}$是实数，属于实数集$\mathbf{R}$，D错误。
2.用符号“$\in$”或“$\notin$”填空：
(1)$\frac{1}{2}$
$\notin$
$\mathbf{N}$；(2)-3
$\in$
$\mathbf{Z}$；(3)$\sqrt{3}$
$\notin$
$\mathbf{Q}$；(4)$\pi$
$\notin$
$\mathbf{N}^{*}$；(5)$\sqrt{5}$
$\in$
$\mathbf{R}$.
答案：(1)$\notin$；(2)$\in$；(3)$\notin$；(4)$\notin$；(5)$\in$
解析：$\mathbf{N}$是非负整数集，$\frac{1}{2}$不是非负整数，(1)填$\notin$；$\mathbf{Z}$是整数集，-3是整数，(2)填$\in$；$\mathbf{Q}$是有理数集，$\sqrt{3}$是无理数，(3)填$\notin$；$\mathbf{N}^{*}$是正整数集，$\pi$不是正整数，(4)填$\notin$；$\mathbf{R}$是实数集，$\sqrt{5}$是实数，(5)填$\in$。
任务一 集合的有关概念
1.下列各组对象中能构成集合的是 (
C
)
A.充分接近$\sqrt{3}$的实数的全体
B.数学成绩比较好的同学
C.小于20的所有自然数
D.未来世界的高科技产品
答案：C
解析：A中“充分接近”没有明确标准，B中“比较好”没有明确标准，D中“未来世界”的产品不确定，均不满足集合元素的确定性；C中小于20的自然数有明确范围，满足确定性，能构成集合。
2.下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是 (
A
)构成的集合
D.P是满足不等式$-1\leqslant x\leqslant 1$的自然数构成的集合，Q是方程$x^{2}=1$的解集
答案：A
解析：A中$-|\sqrt{3}|=-\sqrt{3}$，P与Q元素不同，不是同一集合；B中$\pi\neq3.14159$，元素不同；C中P是数集，Q是点集，元素类型不同；D中P是$\{0,1\}$，Q是$\{-1,1\}$，元素不同。A选项中P和Q元素都是1,$\sqrt{3}$,$\pi$，所以是同一集合。
探究1 已知集合A是不等式$x＞2$的解集.
(1)-1,3与集合A分别是什么关系？
(2)若$a\in A$，则a应满足什么条件？
(3)若$a\notin A$，则a应满足什么条件？
答案：(1)-1$\notin$A，3$\in$A
解析：因为集合A是$x＞2$的解集，-1＜2，所以-1$\notin$A；3＞2，所以3$\in$A。
(2)$a＞2$
解析：若$a\in A$，则a满足不等式$x＞2$，即$a＞2$。
(3)$a\leqslant2$
解析：若$a\notin A$，则a不满足$x＞2$，即$a\leqslant2$。
探究2 若集合A中的元素x满足$\frac{6}{3-x}\in \mathbf{N}$，$x\in \mathbf{N}$，则集合A中的元素有哪些？
答案：0,1,2
解析：因为$x\in \mathbf{N}$，$\frac{6}{3-x}\in \mathbf{N}$，所以3-x是6的正因数。6的正因数有1,2,3,6。则3-x=1时，x=2；3-x=2时，x=1；3-x=3时，x=0；3-x=6时，x=-3（舍去，因为x是自然数）。所以集合A中的元素为0,1,2。
评价活动
1.由不超过5的实数组成集合A，$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，则 (
A
)
A.$a\in A$
B.$a^{2}\in A$
C.$\frac{1}{a}\notin A$
D.$a+1\notin A$
答案：A
解析：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，则$a\approx3.146$，不超过5，所以$a\in A$，A正确；$a^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=5 + 2\sqrt{6}\approx5 + 4.899=9.899＞5$，$a^{2}\notin A$，B错误；$\frac{1}{a}\approx0.318＜5$，$\frac{1}{a}\in A$，C错误；$a + 1\approx4.146＜5$，$a + 1\in A$，D错误。
2.下列关系中，正确的有 (
C
)
①$\frac{1}{2}\in \mathbf{R}$；②$\sqrt{5}\notin \mathbf{Q}$；③$|-3|\in \mathbf{N}$；④$|\sqrt{3}|\in \mathbf{Q}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C
解析：①$\frac{1}{2}$是实数，$\in \mathbf{R}$，正确；②$\sqrt{5}$是无理数，$\notin \mathbf{Q}$，正确；③$|-3|=3$是自然数，$\in \mathbf{N}$，正确；④$|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$是无理数，$\notin \mathbf{Q}$，错误。正确的有3个，选C。
