2025年长江作业本同步练习册高中数学必修第一册人教版
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探究1 设A，B是两个集合，若A∩B=A，A∪B=B，则集合A与B分别具有什么关系？
答案：A⊆B
解析：A∩B=A说明A中的元素都在B中，A∪B=B同样说明A是B的子集，即A⊆B。
探究2 若A∩B=A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
答案：A=B
解析：A∩B⊆A∪B，若二者相等，则A与B元素完全相同，即A=B。
1.已知集合A={x|1≤x＜5}，B={x|-a＜x≤a+3}，若A∩B=B，则a的取值范围为（
C
）
A.{a|-$\frac{3}{2}$＜a≤1}
B.{a|a≤$\frac{3}{2}$}
C.{a|a≤-1}
D.{a|a＞$\frac{3}{2}$}
答案：C
解析：$A \cap B = B$ 即 $B \subseteq A$。集合 $A = \{x|1 \leq x < 5\}$，$B = \{x|-a < x \leq a + 3\}$。
- 当 $B = \varnothing$ 时，$-a \geq a + 3$，解得 $a \leq -\frac{3}{2}$；
- 当 $B \neq \varnothing$ 时，需满足 $\begin{cases}-a < a + 3 \\ -a \geq 1 \\ a + 3 < 5\end{cases}$，即 $\begin{cases}a > -\frac{3}{2} \\ a \leq -1 \\ a < 2\end{cases}$，解得 $-\frac{3}{2} < a \leq -1$。
综上，$a \leq -1$，故选 C。
2.已知集合A={x|x²-x-2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则a=（
D
）
A.-$\frac{1}{2}$或1
B.$\frac{1}{2}$或1
C.-$\frac{1}{2}$或1或0
D.$\frac{1}{2}$或-1或0
答案：D
解析：$A = \{x|x^2 - x - 2 = 0\} = \{-1, 2\}$，$A \cup B = A$ 即 $B \subseteq A$。
- 当 $B = \varnothing$ 时，$ax = 1$ 无解，此时 $a = 0$；
- 当 $B = \{-1\}$ 时，$-a = 1$，解得 $a = -1$；
- 当 $B = \{2\}$ 时，$2a = 1$，解得 $a = \frac{1}{2}$。
综上，$a = 0$ 或 $a = -1$ 或 $a = \frac{1}{2}$，即 $a = \frac{1}{2}$ 或 $-1$ 或 $0$，故选 D。
3.已知集合A={x|x≤-1，或x≥3}，B={x|a＜x＜4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是（
D
）
A.{a|3≤a＜4}
B.{a|-1＜a＜4}
C.{a|a≤-1}
D.{a|a＜-1}
答案：D
解析：A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a＜x＜4}，A∪B=R需满足a＜-1（使B覆盖-1到3之间的区域），故选D。
一题多思1.本题中，若把“A∪B=R”改为“A∩B=∅”，则实数a的取值范围将如何变化？
答案：a≥4
解析：A∩B=∅，则B中的x需满足x≥3（但B上限为4）或x≤-1，B={a＜x＜4}，故a≥4时B与A无交集。
一题多思2.本题中，若把“A∪B=R”改为“A∪B=A”，则实数a的取值范围将如何变化？
答案：a≥3
解析：A∪B=A⇒B⊆A，B={a＜x＜4}，A={x|x≤-1或x≥3}，故a≥3时B⊆A。
