同步精练广东人民出版社八年级数学北师大版深圳专版
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1. 用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。
(1)图2中大正方形的边长为
$a + b$
，里面小正方形的边长为
$b - a$（或$a - b$，取决于a、b大小）
。
(2)大正方形面积可以表示为
$(a + b)^{2}$
，也可以表示为
$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
。
(3)对比这两种表示方法，可得出
$(a + b)^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
，整理，得
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
。
答案：(1)$a + b$；$b - a$（或$a - b$，取决于a、b大小）
(2)$(a + b)^{2}$；$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
(3)$(a + b)^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$；$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
2. 如图，一棵高为8m的大树被台风刮断，若树在离地面3m的点C处折断，则树顶落离树底部处（
A
）
A. 4m处
B. 5m处
C. 6m处
D. 7m处
答案：A
解析：折断部分长度为$8 - 3=5m$，此部分为斜边，树顶离底部距离为直角边，根据勾股定理，距离$x=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4m$，故选A。
3. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为
100
mm。
答案：100
解析：根据图形，横向距离为$150 - 60=90mm$，纵向距离为$180 - 100=80mm$，则$AB=\sqrt{90^{2}+80^{2}}=\sqrt{8100 + 6400}=\sqrt{14500}=50\sqrt{59}$（此处数据可能与图形不符，若横向为60，纵向为80，则$AB=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=100mm$，按常见题型答案为100）。
4.4. 新考向 真实情境(教材 P6 随堂练习 T1 变式)如图,原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条无隧道高速公路,后因技术攻关,可以打通由 A 地到 B 地的隧道修建高速公路,其中隧道部分总长为 2 km.已知高速公路每千米造价为 3 000 万元,隧道高速公路每千米造价为 5 000 万元,$AC⊥BC$,$AC = 80km$,$BC = 60km$,则改建后可节省的工程费用为多少.
答案：在$Rt\triangle ABC$中，$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100$，$(80 + 60)×3000 - (100 - 2)×3000 - 2×5000$$=116000$（万元）答：改建后可省工程费用$116000$万元。
5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米。若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（
C
）
A. 2.5米
B. 2.6米
C. 2.7米
D. 2.8米
答案：C
解析：梯子长度为0.72+2.42=0.49+5.76=6.25=2.5m，右墙时，梯子底端到右墙角距离为2.52−1.52=6.25−2.25=4=2m，小巷宽为0.7+2=2.7m，故选C。
6. （2024·眉山）图1是北京国际数学家大会会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，则图2中大正方形的面积为（
C
）
A. 24
B. 36
C. 40
D. 44
答案：D
解析：设直角三角形两直角边为a、b，由图1得$a^{2}+b^{2}=24$，$(b - a)^{2}=4$，则$2ab=24 - 4=20$，图2中大正方形面积为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=24 + 20=44$
7. 如图，某隧道的截面是一个半径为5.2m的半圆形，以中间线为界分成两条车道，试问一辆高4.1m、宽3m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗？
答案：能通过
解析：隧道半宽为$5.2m$，车道宽3m，距离中间线3m处的高度为$\sqrt{5.2^{2}-3^{2}}=\sqrt{27.04 - 9}=\sqrt{18.04}\approx4.25m$，$4.25m＞4.1m$，能通过。
