同步精练广东人民出版社八年级数学北师大版深圳专版
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11.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（
B
）
A.48 m²
B.114 m²
C.122 m²
D.158 m²
答案：B
解析：连接AC，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{9^2+12^2}=15$m，在△ACD中，AC=15，CD=8，AD=17，因为15²+8²=289=17²，所以△ACD为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114$m²。
12.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”，现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=2，BC=4，则$AB^2+CD^2$=
20
.
答案：20
解析：由勾股定理，$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，$AD^2=AO^2+DO^2=4$，$BC^2=BO^2+CO^2=16$，故$AB^2+CD^2=(AO^2+BO^2)+(CO^2+DO^2)=(AO^2+DO^2)+(BO^2+CO^2)=AD^2+BC^2=4+16=20$。
13.（教材P21复习题T8变式）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”大意：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端到达岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度.（1丈=10尺）
（1）求水池的深度OD.
（2）我国古代数学家刘徽在《九章算术》作注时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=n（n＜a），则水池的深度OD（OD=b）可以通过公式$b=\frac{a^2-n^2}{2n}$计算得到，请说明刘徽解法的正确性.
答案：（1）设OD=b，OC=OE=b+1，OA=5尺，在Rt△AOE中，$5^2+b^2=(b+1)^2$，解得b=12尺；（2）由$a^2+b^2=(b+n)^2$，展开得$a^2+b^2=b^2+2bn+n^2$，化简得$a^2=2bn+n^2$，故$b=\frac{a^2-n^2}{2n}$，得证。
14.新考向 数学文化《九章算术》是我国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（
B
）
A.104寸
B.101寸
C.52寸
D.50.5寸
答案：B
解析：设$OA = OB = r$（寸），$OE = 1$尺$= 10$寸，$CD = 2$寸，则$CE = \frac{1}{2}CD = 1$寸，$OC = r$，$OE = 10$寸，$CE = r - 1$寸。在Rt△OCE中，由勾股定理得$r^2 = OE^2 + CE^2$，即$r^2 = 10^2 + (r - 1)^2$，展开得$r^2 = 100 + r^2 - 2r + 1$，化简得$2r = 101$，解得$r = 50.5$，则$AB = 2r = 101$寸，选B。
