Question

【题目】已知函数f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析:(1)先用定义法判断并证明函数的单调性,根据单调性求出函数的最小值;(2) f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，由(1)可得f(x)的最小值为,代入即可.

试题解析:

(1)f(x)＝x＋＋2，

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，∴1－＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值为.

(2)∵f(x)的最小值为，∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜.

故a的取值范围为.

点睛:本题考查定义法判断函数的单调性,以及恒成立问题转化的求函数的最值. 若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有.