Question

【题目】已知函数f（x）=+x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a=1，b=﹣1;(2) k≤3.

【解析】试题分析：（1）由切线方程，布列方程组，解之即可；（2）g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，即g′（x）≥0在其定义域上恒成立，变量分离求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵f（x）=+x，

∴f′（x）=+1，

∵f（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，

∴+1=2， 2﹣1+b=0， ∴a=1，b=﹣1；

（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=x2﹣kx+lnx+x，

∴g′（x）=x﹣k++1，

∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，∴g′（x）≥0在其定义域上恒成立，

∴x﹣k++1≥0在其定义域上恒成立 ∴k≤x++1在其定义域上恒成立，

而x++1≥2+1=3，当且仅当x=1时“=”成立， ∴k≤3．