Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=1， ，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，解得a2=4
（2）解： ①

当n≥2时， ②

①﹣②得

整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，

当n=1时，

所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列

所以 =n，即

所以数列{an}的通项公式为 ，n∈N*

（3）证明：因为 （n≥2）

所以 = ．

当n=1，2时，也成立

【解析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N* ． 令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为 ， ．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法 （n≥2）即可证明．