Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当 时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，

f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）

令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0

所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）

（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， ．

f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）

令φ（k）=k﹣ln（2k）， ，

所以φ（k）在 上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ ＜k．

即0＜ln（2k）＜k

所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

f（0）=﹣1，

f（k）﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3+1

=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）

=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）

=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]

∵ ，∴k﹣1≤0．

对任意的 ，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0

所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）

所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．

【解析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．