Question

【题目】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点， ，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= ．

（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，OE．

因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，CO=BO=3．

在△COD中， ，同理得 ．

因为 ， ．

所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．

所以∠A′OD=∠A′OE=90°

所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．

所以A′O⊥平面BCDE．

（2）方法一：

过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F

因为A′O⊥平面BCDE．

根据三垂线定理，有A′F⊥CD．

所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．

在Rt△COF中， ．

在Rt△A′OF中， = ．

所以 ．

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为 ．

方法二：

取DE中点H，则OH⊥OB．

以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则O（0，0，0），A′（0，0， ），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0） =（0，0， ）是平面BCDE的一个法向量．

设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z） ， ．

所以 ，令x=1，则y=﹣1， ．

所以 是平面A′CD的一个法向量

设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且

所以

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为

【解析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，AD=AE= ，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．