Question

【题目】已知函数f（x）＝4cosωxsin（ωx）（ω＞0）的最小正周期是π．

（1）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调递增区间；

（2）若f（x0），x0∈[，]，求cos2x0的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，]，[，π）．（2）

【解析】

（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可．

（2）根据条件，结合两角和差的余弦公式进行求解即可．

（1）f（x）＝4cosωx（sinωxcoscosωxsin）

＝4cosωx（sinωxcosωx）＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωxsin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝2sin（2ωx）﹣1，

∵f（x）的最小正周期是π，

∴Tπ，得ω＝1，

即f（x）＝2sin（2x）﹣1，

由2kπ2x2kπ，k∈Z

得kπx≤kπ，k∈Z

即函数的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，

∵x∈（0，π），

∴当k＝0时，x，此时0＜x，

当k＝1时，x≤π，此时x＜π，

综上函数的递增区间为（0，]，[，π）．

（2）若f（x0），

则2sin（2x0）﹣1，

则sin（2x0），

∵x0∈[，]，∴2x0∈[，π]，

2x0∈[，]，则cos（2x0），

则cos2x0＝cos（2x0）＝cos（2x0）cossin（2x0）sin

．