Question

【题目】已知函数是定义在区间上的奇函数，且若对于任意的有

（1）判断并证明函数的单调性；

（2）解不等式；

（3）若对于任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增函数（2）（3）

【解析】试题分析; 1）设 ，由已知可得，分，及两种情况可知 与 的大小，借助单调性的定义可得结论；
（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号 ，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；
（3）要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥f（x）max，整理后化为关于a的一次函数可得不等式组；

试题解析;（1）函数在区间上是增函数：

证明：由题意可知，对于任意的有，

可设，则，即，

当时， ，

∴函数在区间上是增函数；

当时， ，∴函数在区间上是增函数；

综上：函数在区间上是增函数．

（2）由（1）知函数在区间上是增函数，

又由，

得，解得，

∴不等式的解集为；

∵函数在区间上是增函数，且，

要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需对任意的a∈[﹣1，1]时，即﹣恒成立，

令，此时可以看做的一次函数，且在a∈[﹣1，1]时y≥0恒成立，

因此只需要，解得，

∴实数t的取值范围为： ．