Question

【题目】口袋中装有2个白球和n（n≥2，nN*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．

（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；

（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）当f（p）取得最大值时，n的值为2.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合古典概型公式可得所求概率值为；

(2)利用二项分布可得3次摸球中恰有1次中奖的概率是；

(3)结合概率函数的解析式可得当f（p）取得最大值时，n的值为2．

试题解析：

（I）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）=，

（II）由（I）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p===，

所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）=，

（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，

则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为

f（p）=Cp（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），

因为f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），

所以，当p∈（0， ）时，f（p）单调递增；当p∈（，1）时，f（p）单调递减，

所以，当p=时，f（p）取得最大值．

令，解得n=2，n=1（舍去）．

所以，当f（p）取得最大值时，n的值为2．