Question

【题目】已知函数(其中为常数，).（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由(其中是自然对数的底数，).

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 当时， 的增区间为和.

当a>0时，增区间为和，减区间为和

（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）

①当时，恒成立，

于是的增区间为和.

②当时，由,得或.列表得

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

于是增区间为和，

减区间为和

综上可得, 当时， 的增区间为和.

当时，增区间为和，减区间为和

（Ⅱ）当时，对于任意时，不等式恒成立等价于

因为,所以在上递增.

所以

由（Ⅰ）知

①当，即时，在上单调递减，

故时,成立.

②当，

当时，，

故时,成立.

当时，

,得又,

故时,成立.

③当，即时,

,得与矛盾.

综上所述，存在实数时，对于任意时，不等式恒成立.

(转化为恒成立后,用分离参数法求解,比照给分)