Question

【题目】已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上，且经过点，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合．椭圆的上顶点为，过点的直线交椭圆于两点，连接、，记直线的斜率分别为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 见解析;（3） .

【解析】试题分析：(1)由抛物线的焦点为，得到椭圆的两个焦点坐标为 ，再根据椭圆的定义得到 ，即可求得椭圆的标准方程；

(2)由题意，设直线的方程为，并代入椭圆方程，求得，化简运算，即可求得的值.

试题解析：

(1)设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为 ，根据椭圆的定义有 ，所以椭圆的标准方程为 ；

(2)由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，且，设点，由根与系数的韦达定理得，

则，即为定值