Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（1）证明：an+2﹣an=λ
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，

∴an+1（an+2﹣an）=λan+1

∵an+1≠0，

∴an+2﹣an=λ．

（2）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．

则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，

∴an=an+1=1，

∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．

②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．

则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，

∴ ．

∴ ， ，

∴λSn=1+ = ，

根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ=4．

此时可得 ，an=2n﹣1．

因此存在λ=4，使得{an}为等差数列

【解析】（1）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（2）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ．得到λSn= ，根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．