Question

【题目】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A.（1，+∞）
B.（2，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）
D.（﹣∞，﹣2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【考点精析】关于本题考查的函数的零点与方程根的关系，需要了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点才能得出正确答案．