【题目】如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器．

（1）若这个容器的底面边长为，容积为，写出关于的函数关系式并注明定义域；

（2）求这个容器容积的最大值．

参考答案：

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）根据已知中箱子的制作方法，由正三棱柱的底面边长为x, 可得正三棱柱的高以及底面积，由 ，可求出容积V（x）的解析式；（2）先求容积的导函数，分析单调性，可得到函数在 上的极大值点，代入解析式可得最大值．

（1） 由正三棱柱的底面边长为x，可得正三棱柱的高为 ．

所以容积 ，即 ．

（2） 由 ，可得 ，

则 ．

令 ，得 ；令 ，得 ．

所以函数 在 (0,4) 上是增函数，在 (4,6) 上是减函数．

所以当 x=4 时，y 有最大值 4，即这个容器容积的最大值为 4．

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